Primero notemos que [math]mcd(37:37m-1)=1 y que [math]1998=2\cdot 3^3\cdot 37. Ahora consideremos un entero [math]a coprimo con [math]37 y pongamos que [math]a\mid 37m-1\Rightarrow 37m\equiv 1\pmod{a}. Luego como [math]a y [math]37 son coprimos, [math]37 es inversible módulo [math]a y la ecuación tiene siempre solución. Con esto demostramos que para cualquier [math]a, siempre va a haber por lo menos un número de la forma [math]37m-1 tal que [math]a\mid 37m-1.
Sea [math]mcd(37m-1:1998)=d=2^{b_{1}}\cdot 3^{b_{2}} (con [math]b_1 siendo [math]0 o [math]1; y [math]b_2 siendo [math]0, [math]1, [math]2 o [math]3), ya que [math]d\mid 1998=2\cdot 3^3\cdot 37. Notemos que no pusimos al [math]37 en la fsctorización de [math]d ya que [math]mcd(37:37m-1)=1 y entonces [math]mcd(37m-1:1998)=(37m-1:2\cdot 3^3)=d. Ahora supongamos que [math]k tenga a alguno de los primos [math]2 o [math]3 en su factorización elevados a una potencia menor a como aparecen en el número [math]1998, luego como dijimos que existe por lo menos un número [math]a tal que [math]a divida a [math]37m-1, siendo [math]a cualquier entero coprimo con [math]37, entonces si [math]a=2\cdot 3^3, luego [math]mcd(37m-1:1998)=2\cdot 3^3 y el [math]mcd(37m-1:k)\neq 2\cdot 3^3, absurdo ya que tienen que ser iguales. De manera análoga se demuestra que si [math]k tiene a alguno de los primos [math]2 o [math]3 en su factorización elevados a una potencia mayor a como aparecen en el número [math]1998, el [math]mcd(37m-1:k)\neq 2\cdot 3^3 y entonces no se va a poder dar la igualdad.
De todo esto podemos rescatar que [math]k=2\cdot 3^3\cdot j, con [math]j entero positivo y no pudiendo contener a ningún primo en su factorización distinto a [math]37, ya que sino la igualdad no se cumpliría. Luego [math]j=37^i ([math]\forall i\in \mathbb{N}_{0}). Entonces concluímos que todos los números [math]k que cumplen son de la forma [math]k=2\cdot 3^3\cdot 37^i
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