Carlos y Yue juegan al siguiente juego: Primero Carlos escribe un signo [math]+ o un signo [math]- delante de cada uno de los [math]50 números [math]1,2,\cdots,50.
Luego, por turnos, cada uno elige un número de la sucesión obtenida; comienza eligiendo Yue. Si el valor absoluto de la suma de los [math]25 números que eligió Carlos es mayor o igual que el valor absoluto de la suma de los [math]25 números que eligió Yue, gana Carlos. En el otro caso, gana Yue.
Determinar cuál de los dos jugadores puede desarrollar una estrategia que le asegure la victoria, no importa lo bien que juegue su oponente, y describir dicha estrategia.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Primero Carlos distribuye los $+$ y los $-$ de la siguiente forma:
$+1;+50$
$-2;-49$
$+3;+48$
$-4;-47$
$...$
$+25;+26$
De modo que la suma de todos los pares de numeros tomados anteriormente son igual a $\left | 51 \right |$.
El que empieza el juego es Yue que puede elegir un par de numeros enteros positivos o un par de enteros negativos. Luego de la eleccion de Yue, Carlos tiene las mismas opciones, por lo que podemos analizar $4$ casos:
Caso a)En su turno, Yue elije un par negativo y Carlos un par positivo. Si Yue elije un par negativo, entonces para que el valor absoluto sea lo maximo posible tiene que elegir solamente pares negativos; lo mismo para Carlos, que debe escoger solamente pares positivos. Entonces la suma de los $25$ numeros que eligió Yue es $-2-49-4-47-...-24-27=-1275=\left | 1275 \right |$. Y la suma de los $25$ numeros que eligio Carlos es $1+50+3+48+...+25+26=1275=\left | 1275 \right |$. Por lo tanto dado que el valor absoluto de las $2$ sumas es igual entonces gana Carlos.
Caso b)En su turno, Yue elije un par positivo y Carlos un par negativo. Este caso es completamente analogo al anterior; la diferencia es que la suma de Ycue es $1275$ y la de Carlos $-1275$ pero dado que el valor absoluto de las $2$ sumas sigue siendo igual entonces gana Carlos.
Caso c)En su turno, Yue elije un par positivo y Carlos tambien un par positivo. Si Yue elije un par positivo, entonces para que el valor absoluto sea lo maximo posible entonces debe elegir pares positivos y Carlos tambien debe elegir pares positivos. Dado que hay $13$ pares positivos y Yue comienza eligiendo, entonces Yue tendra $7$ pares positivos y Carlos $6$, por lo tanto la diferencia entre la suma de Carlos y Yue es $+51$. Pero luego ambos se ven obligados a elegir pares negativos por lo que su valor absoluto va a descender. Entonces dado que hay $12$ pares negativos, entonces Yue elije $6$ y Carlos tambien $6$. Luego de hacer esto la suma absoluta final es Yue $51$ y Carlos $0$. Por lo que en este caso termina ganando Yue.
Caso d)En su turno, Yue elije un par negativo y Carlos tambien un par negativo. Este caso es analogo al anterior, luego de elegir todos los pares negativos la diferencia entre Yue y Carlos sera de $-51$, a favor de Yue. Luego ambos elijen los pares positivos y la suma de Yue es $-51= \left | 51 \right |$ y la de Carlos es $0$. Por lo que en este caso tambien gana Yue.
Por lo tanto Carlos debe usar los casos a) y b) ya que en c) y d) termina perdiendo. Por lo que la estrategia para ganar de Carlos consiste en que si Yue elije un numero positivo, Carlos debe elegir un numero negativo y viceversa.
ambos con el mismo valor absoluto si la suma de todos los números es impar? Uno debe terminar con suma par y el otro impar, por lo tanto no pueden ser iguales.
es claro que gana Yue.
Suma todos los números y empieza eligiendo, del mismo signo que haya resultado la suma, el número de mayor valor absoluto hasta el menor.
Cuando se hayan acabado empieza con los de menor valor absoluto hasta el de mayor valor absoluto con el otro signo.
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.
Gana Yue. Antes de enunciar y demostrar su estrategia, vamos a hacer algunas observaciones sobre el juego.
Observación [math]1: Si todos los números fueran positivos su suma sería [math]\frac{50\times 51}{2}=25\times 51, que es un número impar.
Observación [math]2: La operación de cambiarle el signo a un número [math]x no afecta la paridad de la suma. Demostración: La suma antes de cambiarle el signo a [math]x es [math]S+x, después de cambiarle el signo es [math]S-x. Su diferencia es [math]S+x-(S-x)=S-S+x+x=2x, como [math]2x\equiv 0(2), entonces [math]S+x\equiv S+x-2x\equiv S-x(2). Entonces cambiarle el signo a [math]x de positivo a negativo no cambia la paridad de la suma, análogamente ocurre si se le cambia el signo a [math]x de negativo a positivo. Por lo tanto cambiarle el sino a un número [math]x no afecta la paridad de la suma.
Observación [math]3: Nunca puede ocurrir el caso de igualdad de valores absolutos. Demostración: Sea [math]Y la suma de los números que eligió Yue y [math]C la suma de los números que eligió Charly, entonces [math]Y+C es la suma de todos los números, y por lo tanto [math]Y+C\equiv 1(2). Si [math]|Y|=|C| tenemos dos posibles casos:
Entonces [math]Y+C=Y+Y=2Y\equiv 0(2), pero [math]Y+C\equiv 1(2). Absurdo!!
El absurdo provino de suponer que [math]Y=C, entonces este caso no puede ocurrir.
Entonces [math]Y+C=-C+C=0\equiv 0(2), pero [math]Y+C\equiv 1(2). Absurdo!!
El absurdo provino de suponer que [math]Y=-C, entonces este caso no puede ocurrir.
Habiendo visto los dos casos posibles, queda demostrado que nunca puede ocurrir el caso de igualdad de valores absolutos.
Ahora sí, estamos en condiciones de enunciar y demostrar que Yue tiene la estrategia ganadora.
Estrategia: Yue suma todos los números, separa los números en grupos según su signo, los ordena de menor a mayor, y empieza a elegir de la siguiente manera: Elige siempre el número de mayor valor absoluto del grupo con el mismo signo que la suma, cuando ya no puede hacer esto, elige los números con el menor valor absoluto posible del grupo con el signo opuesto al de la suma.
Demostración: Supongamos WLOG que la suma es negativa, entonces Yue elegirá siempre el menor número posible, si Charly hace lo mismo, entonces irán eligiendo los números de forma alternada, por lo tanto, se puede emparejar un número de Yue con uno de Charly en grupos disjuntos de forma que cada número de Yue sea el menor de su pareja. Si Charly en algún momento no elige el menor número posible, entonces le deja la posibilidad a Yue de elegirlo, teniendo necesariamente que elegir un número mayor, entonces se sigue cumpliendo que se puede emparejar un número de Yue con uno de Charly en grupos disjuntos de forma que cada número de Yue sea el menor de su pareja.
Falta demostrar que siempre ocurre que el mayor número de Yue siempre puede emparejarse con un número mayor de Charly. Para eso, notemos que Charly siempre elegirá el mayor de todos los números, ya que contando desde la primer jugada de Yue, Charly hace las jugadas pares, como [math]50 es un número par, Charly será el último en elegir. De esta forma, si Charly no elige el mayor número de todos antes de su última jugada, se verá forzado a elegirlo al final, ya que será el único número que quede. Esto asegura que incluso el mayor número de Yue pueda emparejarse con un número mayor de Charly.
Tenemos entonces [math]4 casos: Caso [math]1:[math]Y<0,C<0
Como la suma de todos los números es negativa, entonces la suma negativa tiene que tener un mayor valor absoluto que la suma positiva, pero la suma positiva es [math]C y la suma negativa es [math]Y. Por lo tanto [math]|Y|>|C|
Entonces [math]Y+C>0. Pero como la suma es negativa, [math]Y+C<0. Entonces [math]0<Y+C<0. Absurdo!!
El absurdo provino de suponer que tanto [math]Y como [math]C pueden ser mayores a [math]0 a la vez, luego, este caso no puede ocurrir
Entonces [math]C<0<Y. Pero sabemos que [math]Y<C. Entonces [math]Y<C<Y. Absurdo!!
El absurdo provino de suponer que [math]Y>0 y [math]C<0 a la vez, luego, este caso no puede ocurrir
Habiendo visto todos los casos, queda demostrado que si la suma es negativa entonces siempre ganará Yue. La demostración para el caso en el que la suma es positiva es análogo.
Queda demostrado que Yue tiene la estrategia ganadora.
Dado que invertir los signos lleva al mismo resultado (si uno iba a minimizar su suma entonces ahora la maximizara y viceversa, haciendo las mismas decisiones), podemos invertirlos en los tableros que elijamos sin perder generalidad.
Sea $S_+$ la suma de los números positivos.
Sea $S_-$ la suma de los valores absolutos de los números negativos.
Invertiremos los casos donde $S_- \geq S_+$. Quedandonos solo los casos $S_+ \geq S_-$
Notemos que $S_- = S_+$ es imposible, asumamos que no:
$1+2+...+50 = S_- + S_+$
$1275 = 2S_+$
$637,5 = S_+$, absurdo
Nos queda que $S_+ > S_-$
Sea $Y_+$ e $Y_-$ el valor absoluto de la suma de los números postivos y negativos elegidos por Yue, respectivamente.
Sea $C_+$ e $Y_-$ lo mismo pero para Carlos.
Yue elegira siempre el mayor número que puede.
* Si la suma total de Carlos es positiva:
Notemos que por cada número que elegía Yue, Carlos esta obligado a seguirle con uno más chico, por lo que la suma total de Yue sera mayor que la Carlos. Y como la suma de Carlos es positiva la de Yue tambien, gana Yue.
* Si la suma total de Carlos es negativa o cero.
Entonces $C_- \geq C_+$
$Y_+ + C_- \geq Y_+ + C_+ = S_+ > S_- = Y_- + C_ -$
$Y_+ + C_- > Y_- + C_-$
$Y_+ > Y_-$
Por lo que la suma de Yue es positiva.
Luego gana Yue si $Y_+ - Y_- > C_- - C_+$
$Y_+ + C_+ > C_- + Y_-$
$S_+ > S_-$, que se cumple. Gana Yue.
Yue puede garantizarse la victoria con esta estrategia.
