IMO 1979 - P1
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FelipeGigena
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IMO 1979 - P1
Sean $a$ y $b$ dos naturales tales que$$\frac{a}{b}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}.$$Demostrar que $a$ es divisible por $1979$.
MEDIO EQUILÁTERO?
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FelipeGigena
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drynshock
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Re: IMO 1979 - P1
¿Como funciona eso? Estoy bastante seguro que esa suma no da un entero (a checkear).
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FelipeGigena
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Re: IMO 1979 - P1
Sí, la suma no da un entero. Pero en general vos podés extender la idea de congruencia a la división. Para eso se usan inversos. Un ejemplo:
$$\frac{1}{2} \equiv 1 * 2^{-1} \equiv 3 \ (mod\ 5).$$
Dónde $2^{-1}$ es un entero $x$ tal que $2x \equiv 1\ (mod\ 5).$
Última edición por FelipeGigena el Lun 04 Nov, 2024 5:59 pm, editado 1 vez en total.
MEDIO EQUILÁTERO?
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drynshock
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Re: IMO 1979 - P1
Impecable dato, ¿también funcionaria algo parecido con raíces?FelipeGigena escribió: ↑Lun 04 Nov, 2024 5:37 pmSí, la suma no da un entero. Pero en general vos podés extender la idea de congruencia a la división. Para eso se usan inversos. Un ejemplo:
$$\frac{1}{2} \equiv 1 * 2^{-1} \equiv 3 \ (mod\ 5).$$
Dónde $2^{-1}$ es un número $x$ tal que $2x = 1.$
Por ejemplo
$$\sqrt{5} \equiv \sqrt{1} \equiv 1 \pmod 2$$
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FelipeGigena
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Re: IMO 1979 - P1
No sé. Me comí el '$\equiv$' al final por si generó confusión. Ahí lo arreglédrynshock escribió: ↑Lun 04 Nov, 2024 5:57 pmImpecable dato, ¿también funcionaria algo parecido con raíces?FelipeGigena escribió: ↑Lun 04 Nov, 2024 5:37 pmSí, la suma no da un entero. Pero en general vos podés extender la idea de congruencia a la división. Para eso se usan inversos. Un ejemplo:
$$\frac{1}{2} \equiv 1 * 2^{-1} \equiv 3 \ (mod\ 5).$$
Dónde $2^{-1}$ es un número $x$ tal que $2x = 1.$
Por ejemplo
$$\sqrt{5} \equiv \sqrt{1} \equiv 1 \pmod 2$$
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Gianni De Rico
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Re: IMO 1979 - P1
Con raíces no sirve, porque por ejemplo$$1^2\equiv 5^2\equiv 7^2\equiv 11^2\equiv 1\pmod{12}.$$Es decir que $1$ tiene cuatro raíces cuadradas módulo $12$.
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drynshock
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Re: IMO 1979 - P1
No me refería a eso, si no a $\sqrt{a} \equiv \sqrt{a+p} \pmod p$.Gianni De Rico escribió: ↑Lun 04 Nov, 2024 7:34 pm Con raíces no sirve, porque por ejemplo$$1^2\equiv 5^2\equiv 7^2\equiv 11^2\equiv 1\pmod{12}.$$Es decir que $1$ tiene cuatro raíces cuadradas módulo $12$.
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Gianni De Rico
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Re: IMO 1979 - P1
Es que justamente no podés definir $\sqrt{a}$ módulo algo en general (bueno, con los primos, como siempre, todo funciona un poco mejor y ahí sí podés). Pero de todos modos, sí es cierto lo que vos querés ver (y acá no importa para nada si el módulo es primo o no).
Si $x$ es tal que $x^2\equiv a\pmod m$ entonces $x^2\equiv a+m\pmod m$, con lo que $x$ sería a la vez una raíz de $a$ y una raíz de $a+m$.
Insisto en que yo no usaría $x\equiv \sqrt{a}\pmod m$ para decir que $x^2\equiv a\pmod m$, porque como ya dije antes, no es algo que esté bien definido en general.
Si $x$ es tal que $x^2\equiv a\pmod m$ entonces $x^2\equiv a+m\pmod m$, con lo que $x$ sería a la vez una raíz de $a$ y una raíz de $a+m$.
Insisto en que yo no usaría $x\equiv \sqrt{a}\pmod m$ para decir que $x^2\equiv a\pmod m$, porque como ya dije antes, no es algo que esté bien definido en general.
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Turko Arias
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Re: IMO 1979 - P1
Un comentario sobre este problema es que, gracias a haberlo hecho en un Training de IMO, cuando rendimos la CIMA en 2016 y vimos el Problema 1 reconocimos al toque lo que había que hacer porque nos acordamos de este problema
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Y todo el orgullo de ser bien bilardista
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