Simulacro Nacional OMA 2024

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Simulacro Nacional OMA 2024

Bueno, el título ya lo dice todo jaja . La prueba es individual, tienen 3 horas y 30 minutos, se puede usar calculadora y consultar libros y apuntes. Les digo todo esto porque les recomiendo que piensen esta prueba como si fuera la real (¡para algo están los simulacros!), aunque pueden hacer lo que ustedes quieran. Después voy a subir cada problema en un post aparte para que puedan compartir sus soluciones.

Simulacro_Nacional_OMA_2024.pdf

Si encuentran algún error en el PDF avísenme, y si tienen alguna duda de algún enunciado consúltenme acá abajo .

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Nivel 1

Problema 1. Hay $1000$ estudiantes en una escuela. Cada estudiante tiene exactamente cuatro amigos. Tres estudiantes forman un triángulo amistoso si cada par de ellos son amigos. Determinar la mayor cantidad posible de triángulos amistosos.

Problema 2. Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle A = 60^\circ$ y $\angle C = 40^\circ$. Sea $D$ un punto en el lado $BC$ tal que $AB = 2CD$ y $M$ el punto medio del lado $AC$. Determinar la medida del ángulo $\angle CMD$.

Problema 3. El Banco de Córdoba emite monedas que tienen una cara blanca y una cara negra. Vera tiene $2023$ monedas dispuestas en una fila. Inicialmente, las monedas muestran alternadamente las caras blancas y negras, con la primera moneda mostrando la cara blanca. En un movimiento, Vera debe voltear una de las monedas en la fila, de acuerdo con las siguientes reglas:

1. En el primer movimiento, Vera debe voltear cualquiera de las $2023$ monedas;
2. En cada uno de los movimientos posteriores, Vera debe voltear una de las monedas adyacentes a la moneda que volteó en el movimiento anterior.

Determinar la menor cantidad de movimientos que Vera debe realizar para que todas las monedas muestren la cara negra.

Problema 4. Ana escribe en las casillas de un tablero de $99 \times 99$ todos los enteros positivos del $1$ al $99^2$. Beto observa la tabla y elige varias casillas, de modo que entre las casillas elegidas no haya dos que compartan un lado. Luego, Ana debe entregarle a Beto tantos caramelos como la suma de los números en todas las casillas elegidas. Determinar la mayor cantidad de caramelos que Beto puede asegurarse, sin importar como Ana complete el tablero.

Problema 5. Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos tales que $b \leqslant c$ y $$\frac{(ab-1)(ac-1)}{bc}=2023.$$ Determinar todos los valores posibles de $c$.

Problema 6. Decimos que un par de enteros positivos $(a, b)$ es increíble si $ab+1$ es un cuadrado perfecto. Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales es posible dividir el conjunto de los primeros $2n$ números naturales, $\{1, 2, 3, \ldots, 2n\}$, en $n$ pares increíbles.

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Nivel 2

Problema 1. Sea $ n $ un entero positivo de $ d $ dígitos. Al escribir todos los dígitos de $ n $ en orden inverso, obtenemos el número $ n' $. Determinar si es posible que la representación decimal del producto $ n \cdot n' $ consista únicamente en dígitos $ 8 $, para los casos (a) $ d = 9998 $ y (b) $ d = 9999 $.

Problema 2. Ana tiene una abundante cantidad de piezas de cuatro tipos distintos, como se muestra en la figura, y elige $n$ de ellas para entregárselas a Beto.

N2P2.png

Beto debe colocar las piezas en un tablero de $20 \times 20$ de modo que cada una cubra exactamente cuatro casillas. Está permitido rotarlas o voltearlas, pero no superponerlas. Si Beto logra su objetivo, resultará ganador; de lo contrario, ganará Ana. Determinar el menor valor de $n$ para el cual Ana tiene una estrategia que le garantiza la victoria, sin importar las acciones de su oponente.

Problema 3. Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tal que $\angle BAD = 2 \angle ADC$ y $CD = 2BC$. La recta perpendicular a $AD$ por $C$ corta a $AD$ en $H$. Demostrar que las rectas $BH$ y $CD$ son paralelas.

Problema 4. Sofía escribió los números $1, 2, \dots, 2024$ en el pizarrón. En cada jugada, debe borrar dos números $a$ y $b$ del pizarrón y reemplazarlos por la suma $a + b$. Determinar la menor cantidad de jugadas que Sofía debe realizar para que todos los números en el pizarrón se vuelvan iguales.

Problema 5. Determinar todas las sucesiones de enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$ tales que $a_n \leqslant 2024$ para $1\leqslant n \leqslant 2024$ y $ma_m-na_n$ es divisible por $m+n$ para $1 \leqslant n < m \leqslant 2024$.

Problema 6. En un país muy lejano, hay $2024$ ciudades. Algunos pares de ciudades están conectados por vuelos bidireccionales. Ninguna ciudad tiene un vuelo directo a cada una de las otras $2023$ ciudades. Sin embargo, existe un entero positivo $n$ con la siguiente propiedad: para cualesquiera $n$ ciudades del país, existe otra ciudad que tiene un vuelo directo a cada una de estas $n$ ciudades. Determinar el mayor valor posible de $n$.

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Nivel 3

Problema 1. Uriel elige un número primo. Luego, cada segundo, añade a la derecha de su número (después de la cifra de las unidades) el dígito $1$ o el dígito $3$, de modo que el nuevo número también sea primo. Determinar si es posible que este proceso continúe indefinidamente.

Problema 2. Lola juega en un tablero de ajedrez de $100 \times 100$. Inicialmente, hay un peón blanco en cada casilla de la fila inferior y un peón negro en cada casilla de la fila superior, mientras que el resto de las casillas están vacías. Cada peón blanco se mueve hacia la fila superior y cada peón negro se mueve hacia la fila inferior de una de las siguientes maneras:

1. Se mueve a la casilla directamente enfrente de él si no hay otro peón en ella;
2. Captura un peón en una de las casillas con las que comparte exactamente un vértice en la fila inmediatamente delante de él si hay un peón del color opuesto en ella.

(Un peón $P$ captura a un peón $Q$ del color opuesto cuando se retira $Q$ del tablero y $P$ se mueve a la casilla que ocupaba anteriormente $Q$).
Lola puede mover cualquier peón (no necesariamente alternando entre negro y blanco) de acuerdo con esas reglas. Determinar la menor cantidad de peones que pueden quedar en el tablero después de que no se puedan realizar más movimientos.

Problema 3. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle ABD=30^\circ$, $\angle BCA=75^\circ$, $\angle ACD=25^\circ$ y $BC=CD$. La recta $BC$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ACD$ en el punto $E \neq C$. Demostrar que $CE=BD$.

Problema 4. Una sucesión de números reales positivos $\{a_n\}$ se define de la siguiente manera: $$a_0=1, \hspace{0.5cm} a_1=3, \hspace{0.5cm} a_{n+2} = \frac{a_{n+1}^2+2}{a_n} \: \mathrm{para} \: n \geqslant 0.$$ Demostrar que $a_n$ es entero para $n\geqslant0$.

Problema 5. Determinar el menor entero positivo $n$ que no sea una potencia de dos para el cual no existen dos conjuntos distintos $A$ y $B$ que cumplan las siguientes condiciones:

1. $A$ y $B$ son subconjuntos no vacíos de $\{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2024}, n\}$;
2. $A$ y $B$ tienen la misma cantidad de elementos;
3. La suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B$.

Problema 6. Se tienen $2024$ puntos rojos y $2024$ puntos azules en el plano, entre los cuales no hay tres alineados. Decimos que un par de enteros no negativos $(a, b)$ es maravilloso si existe un semiplano con exactamente $a$ puntos rojos y $b$ puntos azules. Determinar la menor cantidad posible de pares maravillosos. (Los puntos que se encuentran en la recta que define el límite del semiplano se consideran fuera de éste).

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Si quieren pueden mandarme sus soluciones por mensaje privado