En un torneo de tenis de $10$ jugadores, todos jugaron contra todos una vez. En este torneo, si el jugador $i$ ganó el partido contra el jugador $j$, entonces la cantidad total de partidos que perdió $i$ más la cantidad total de partidos que ganó $j$ es mayor o igual que $8$.
Diremos que tres jugadores $i$, $j$, $k$ forman un trío atípico si $i$ le ganó a $j$, $j$ le ganó a $k$ y $k$ le ganó a $i$.
Demostrar que en el torneo hubo exactamente $40$ tríos atípicos.
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.
Debido a la primera condicion, podemos ir tanteando cuantos partidos como maximo puede haber ganado el ganador del torneo. si esa cantidad de partidos ganados es mayor o menor que 5 nos da un absurdo, finalmente se puede conseguir que el único posible resultado es que hay 5 jugadores que ganaron 5 partidos y perdieron 4 y 5 jugadores que ganaron 4 y perdieron 5.
Ahora, calculamos los trios no atípicos:
Cada jugador que gano 5 partidos puede participar en trios no atipicos si se une con dos jugadores a los que les haya ganado (comb. sin rep. de 5 tomados de a 3= 10)
y cada jugador que gano 4 partidos puede participar en trios no atipicos si se une con dos jugadores a los que les haya ganado (comb. sin rep. de 4 tomados de a 2= 6)
10.5+6.5=80
La cantidad de trios totales es comb. sin rep. de 10 tomados de a 3=120.
120-80=40
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.
Sean $x_1,x_2,..., x_{10}$ los diez jugadores del torneo.
Sea $G(x_i)$ el número de partidos que ganó el jugador $x_i$ y sea $P(x_i)$ el número de partidos que perdió $x_i$.
Notemos que como cada jugador jugó nueve partidos y no hay empates entonces:
$G(x_i)+P(x_i)=9$
$P(x_i)=9-G(x_i)$
Por otro lado, se jugaron $\binom {10}{2}=45$ partidos. Como en cada partido gana una sola persona, entonces se cumple que:
$\sum_{i=1}^{10} G(x_i)=45$
Ahora analicemos más en detalle el enunciado. Supogamos que $x_i$ le ganó a $x_j$, entonces se cumple que:
$P(x_i)+G(x_j)\geq 8$
$9-G(x_i)+G(x_j)\geq 8$
$G(x_i)-G(x_j)\leq 1$
Supongamos entonces que el jugador $x_i$ ganó $k$ partidos ($G(x_i)=k$)
Entonces se cumple lo siguiente:
$G(x_i)-G(x_{j_1})\leq 1$
$G(x_i)-G(x_{j_2})\leq 1$
...
$G(x_i)-G(x_{j_k})\leq 1$
El número de desigualdades es $k$. Por lo tanto, sumando todas ellas:
$k.G(x_i)-G(x_{j_1})-...-G(x_{j_k})\leq k$
Como $x_i$ le ganó a $k$ jugadores, y como jugó nueve partidos, entonces existen $9-k$ jugadores que no están incluidos en ninguna de las desigualdades anteriores. Sean $x_{m_1}$, ..., $x_{m_{9-k}}$ estos jugadores. Entonces se cumple que:
$k^2-(45-G(x_i)-G(x_{m_1})-...-G(x_{m_{9-k}}))\leq k$
$G(x_{m_1})+...+G(x_{m_{9-k}})\leq -k^2+k-k+45$
Y como $G(x_a)\geq 0$
$0\leq -k^2+45$
Resolviendo la inecuación cuadrática, el resultado útil que nos queda es que $k\leq 6$.
Ahora podemos hacer exactamente lo mismo que antes, pero suponiendo que $x_i$ pierde $k'$ partidos, y de forma muy similar podemos llegar a que $k\geq 3$.
Ahora vamos a descartar que se pueda obtener ninguna distribución con $k=3,6$
Supongamos que $x_i$ gana exactamente $6$ partidos. Entonces nos queda lo siguiente:
$G(x_i)-G(x_{j_1})\leq 1$
...
$G(x_i)-G(x_{j_6})\leq 1$
Sumando todos:
$6.G(x_i)-G(x_{j_1}-...-G(x_{j_{6}})\leq 6$
Como perdió contra tres jugadores, supongamos que estos se llaman $x_j$, $x_k$, $x_l$. Entonces se cumple que:
$6.6-(45-6-G(x_j)-G(x_k)-G(x_l))\leq 6$
$G(x_j)+G(x_k)+G(x_l)\leq 9$
Pero como antes vimos que $G(x_a)\geq 3$, entonces:
$G(x_j)+G(x_k)+G(x_l)\geq 9$.
Entonces se concluye que:
$G(x_j)+G(x_k)+G(x_l)=9$
Para que esto se cumpla, necesariamente debe ser:
$G(x_j)=G(x_l)=G(x_k)=3$.
De esto se deduce que las tres personas con las que pierde una que gana 6 partidos, ganan sí o sí 3 partidos.
De forma muy similar se concluye que a las tres personas a las que le gana una que gana 3 partidos, necesariamente deben haber ganado 6 partidos. De esto se concluye que en una configuración en la que aparecen jugadores que ganaron 6 o 3 partidos, entonces debe haber como mínimo tres jugadores cuyo $G(x_i)=3$ y otros tres con $G(x_i)=6$. Veamos que pasa.
Sea $x_i$ uno de los jugadores que ganó exactamente $6$ partidos. Como los tres partidos que perdió los perdió contra tres jugadores que ganaron 3 partidos, significa que todos los demàs partidos los ganó. Sin embargo, como hay mínimo 3 que ganaron 6, significa que le ganó a un jugador que ganó 6 partidos. Y esto es imposible porque habíamos determinado que un jugador que gana 6 partidos únicamente pierde contra jugadores que ganan 3 partidos, lo que lleva a un absurdo!!! Entonces se concluye que solo puede haber jugadores que ganen o bien 4 o bien 5 partidos.
Sea $y$ el número de jugadores que gana $4$ y $z$ el número de jugadores que gana $5$. Entonces resolvemos el sistema:
$y+z=10$
$4y+5z=45$
De donde sale que $y=5$ y $z=5$
Para finalizar el problema imaginemos lo siguiente. Cada jugador se conecta a los demás a través de flechas. Si la flecha sale del jugador, significa que le ganó al jugador con que está conectado; si entra, significa que perdió. (ver la imagen)
Veamos que en los tríos no atípicos siempre hay exactamente un jugador del cual salen dos flechas. Entonces, si contáramos la cantidad de jugadores de los cuales salen dos flechas, estaríamos contando todos los tríos no atípicos una vez. Esto ocurre porque: al contar no estamos repitiendo ninguno (como hay solo un jugador en cada trío del cual salen dos flechas, entonces no hay posibilidad de contarlo dos veces); y además no estamos omitiendo ninguno porque eso significaría que existen tríos no atípicos en los cuales no hay jugadores de los cuales salen dos flechas, que es imposible.
Entonces veamos lo siguiente:
La cantidad total de tríos en el torneo es:
$\binom {10}{3}=120$
Un jugador que gana $5$ partidos tiene $5$ flechas salientes, de modo que la cantidad de tríos no atípicos que puede formar es la cantidad de formas de elegir dos de ellas:
$\binom {5}{2}=10$
Un jugador que gana $4$ partidos tiene $4$ flechas salientes, de modo que la cantidad de tríos no atípicos de los que forma parte son:
$\binom {4}{2}=6$
Entonces la cantidad de tríos no atípicos es:
$10.5+6.5=50+30=80$
Y la cantidad de tríos atípicos es:$120-80=40$
Tríos atípicos y no atípicos.png
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Sean $x_{m_1}$, ..., $x_{m_{9-k}}$ estos jugadores. Entonces se cumple que:
$k^2-(45-G(x_i)-G(x_{m_1})-...-G(x_{m_{9-k}}))\leq k$
$G(x_{m_1})+...+G(x_{m_{9-k}})\leq -k^2+k-k+45$
