Para cada número natural $n$ denotamos $a_n$ como el mayor cuadrado perfecto menor o igual que $n$ y $b_n$ el menor cuadrado perfecto mayor que $n$. Por ejemplo $a_9=3^2$, $b_9=4^2$ y $a_{20}=4^2$, $b_{20}=5^2$.
Calcular:$$\frac{1}{a_1b_1}+\frac{1}{a_2b_2}+\frac{1}{a_3b_3}+\ldots +\frac{1}{a_{600}b_{600}}$$
Notemos que, para todo [math]k se verifica que: [math]a_{k^2}=a_{k^2+1}=\ldots= a_{k^2+2k} y análogamente [math]b_{k^2}=b_{k^2+1}=\ldots= b_{k^2+2k}.
Además, es trivial ver que [math]a_{k^2}=k^2 y [math]b_{k^2}=(k+1)^2. Luego, para todo [math]k se verifica que: [math]\dfrac{1}{a_kb_k}=\ldots =\dfrac{1}{a_{k^2+2k}b_{k^2+2k}}=\frac{1}{k^2(k+1)^2}.
Luego, para todo [math]k, se verifica que: [math]\sum_{i=k^2}^{k^2+2k} \frac{1}{a_ib_i} = \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} = \frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}.
Entonces, la suma de los primeros [math]575 términos será: [math]\sum_{i=1}^{23} \left(\frac{1}{i^2}-\frac{1}{(i+1)^2}\right), y la suma de los últimos [math]25 términos será [math]25\cdot \frac{1}{24^225^2}.
Pero la suma de los primeros [math]575 términos es claramente una suma telescópica, y vale [math]1-\frac{1}{24^2}, luego, la suma pedida es exactamente [math]1-\frac{1}{24^2}+25\cdot \frac{1}{24^225^2}=\frac{599}{600}
Sea [math]\theta = 1,3063778838... Para todo entero positivo [math]k se cumple que [math]\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor es un número primo.
En [1,4) hay 3 naturales, en [4,9) hay 5, en [9,16) hay 7.
No es dificil ver que siempre la diferencia entre un cuadrado y el proximo es 2n+1.
Ahora, el producto de los dos cuadrados perfectos, es un cuadrado perfecto:
/4, /36, /144, /400
2, 6, 12, 20, 36
Claramente es el producto de dos numeros consecutivos, n*(n+1).
3/4+5/36+7/144...
Entonces se puede reeescribir esto como: [math]\sum_{i=1}^{600}\frac{1}{a_{i}b_{i}}=\sum_{i=1}^{575}\frac{1}{a_{i}b_{i}}+\sum_{i=576}^{600}\frac{1}{a_{i}b_{i}}
Y [math]\sum_{i=1}^{575}\frac{1}{a_{i}b_{i}}=\sum_{i=1}^{23}\frac{2n+1}{(n(n+1))^2}
Ahora se pueden computar esos 23 terminos y sumarle:
25/600^2=1/(24*600)
Pero en vez de hacer la cuenta mejor me pongo a buscar una forma de acotarlo mejor.
No es difícil notar que los términos $a_n, b_n$ cambian cada vez que aparece un nuevo cuadrado perfecto. Esto es cierto ya que si por un momento $a_n = k^2$, entonces $a_{n+1} = k^2$ siempre y cuando $n+1 \neq (k+1)^2$, ya que en ese caso el cuadrado menor o igual a $n+1$ seria $a_{n+1} = (k+1)^2$. Análogamente se puede hacer lo mismo para corroborar la sucesión de $b_{n}$. También notemos que la cantidad de veces que se repite cada termino es $3, 5, 7, 9, \dots$ y esto es cierto siempre ya que la diferencia entre dos cuadrados perfectos es $(c+1)^2 - c^2 = 2c + 1$, lo cual nos deja con los números impares.
Ahora si, sabiendo esto, se cumple que la sumatoria viene dada por:
Nos estaría quedando pendiente hasta que término de la sumatoria calcular. Nosotros sabemos que la sucesión en total tiene $600$ términos, de los cuales inicialmente vienen agrupados de a $3, 5, 7, 9, \dots$, entonces podemos plantear que $3 + 5 + 7 + \dots + x^2 = 600 \iff 1 + 3 + 5 + \dots + x^2 = 601 \iff (\frac{x+1}{2})^2 = 601 \Rightarrow x \approx 47$ (Redondeando $x$ hacia el impar mas cercano menor que $x$).
Sabiendo esto, estaríamos calculando $3 + 5 + 7 + \dots + 47 = 575$ términos de la sucesión, lo cual implica que nos faltan sumar los últimos 25 términos, los cuales son de la forma $\frac{1}{24^2.25^2}$, ya que hasta el momento consideramos los $47$ términos de la forma $\frac{1}{23^2.24^2}$ y anteriores. Luego, la sumatoria resulta:
Supongamos que no tenemos la calculadora de la Nasa que nos hace la sumatoria toda perfectita en forma de fracción. Entonces podemos hacer lo siguiente $\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} \equiv \frac{k^2+2k+1-k^2}{k^2(k+1)^2} \equiv \frac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2} \equiv \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}$ luego, podemos notar que:
