Sean [math]a>b>c>d números enteros positivos que satisfacen [math]a+b+c+d=502 y [math]a^2-b^2+c^2-d^2=502. Calcular cuántos son los valores posibles de [math]a.
Por diferencia de cuadrados: [math](a+b)(a-b)+(c+d)(c-d)=502, pero como [math](a+b)\times 1+(c+d)\times 1=502, entonces para encontrar soluciones a las ecuaciones se puede poner que [math]a-b=1 y [math]c-d=1.
Por lo tanto [math]a+b+c+d=1+b+b+1+d+d=502 [math]2(b+d)=500 [math]b+d=250
Ahora, como [math]b>d entonces el minimo valor de [math]b es [math]126 y como [math]d es positivo entonces el maximo valor de [math]b es [math]249. Por lo tanto los posibles valores de [math]a van desde [math]127 hasta [math]250 inclusive, dando un total de [math]250-127+1=124 posibles valores.
En el cuadro se muestra por columna una solucion para cada valor de [math]a entre [math]127 y [math]250 [math]\begin{matrix} a & 127 & 128 & ... & 250 \\ b & 126 & 127 & ... & 249 \\ c & 125 & 124 & ... & 2 \\ d & 124 & 123 & ... & 1\end{matrix}
Veamos en primer lugar que la condición del enunciado [math]a>b>c>d se puede traducir en que: [math]b\leq a-1 [math]c\leq a-2 [math]d\leq a-3
Entonces: [math]a+b+c+d\leq a+a-1+a-2+a-3 [math]502\leq 4a-6 [math]4a\geq 508 [math]a\geq 127
Por otro lado, veamos que: [math]a^2-b^2+c^2-d^2\geq a^2-(a-1)^2+c^2-d^2 [math]a^2-b^2+c^2-d^2\geq 2a-1+c^2-d^2
Ahora bien, ¿cuál es el menor valor de [math]c^2-d^2?Como equivale a [math](c-d)(c+d) la pregunta equivale a minimizar [math]c-d y [math]c+d. [math]c-d\geq 1 porque [math]c>d y se cumple para [math]c=d+1. El mínimo de [math]c+d se obtiene con [math]d y [math]c mínimos, es decir, para [math]d=1 y [math]c=2. Por lo tanto [math]c^2-d^2\geq 2^2-1^2=3
Por lo tanto: [math]a^2-b^2+c^2-d^2\geq 2a-1+3 [math]a^2-b^2+c^2-d^2\geq 2a+2
Entonces preguntémonos, qué pasaría si [math]2a+2>502. Entonces, en ese caso, como [math]2a+2 es el mínimo valor que puede tomar [math]a^2-b^2+c^2-d^2, entonces la consigna sería imposible. Por lo tanto, para cualquier [math]a que cumpla [math]2a+2>502, no es posible: [math]2a+2>502 [math]a>250
Entonces, sí o sí, por lo que dijimos antes, [math]a\leq 250.
Entonces hemos acotado al número [math]a del siguiente modo: [math]127\leq a \leq 250
Ahora voy a mostrar que es posible encontrar una cuaterna [math](a,b,c,d) para cada [math]a comprendido en ese intervalo.
Pongamos que [math]c=d+1
Entonces: [math]c^2-d^2=(d+1)^2-d^2=d^2+2d+1-d^2=2d+1
Entonces: [math]a^2-b^2+2d+1=502 [math](a-b)(a+b)=502-2d-1=501-2d=1.(501-2d)
Ahora pongamos: [math]a-b=1 [math]a+b=501-2d y resolvamos el sistema: [math]b=a-1 [math]b=501-2d-a [math]a-1=501-2d-a [math]a=251-d [math]b=250-d
Entonces nos queda la cuaterna: [math](251-d,250-d,d+1,d), y la suma de [math]a, b , c ,d es [math]251-d+250-d+d+1+d=502, como queríamos.
Por otro lado, podemos ver que eligiendo un [math]d adecuado, podemos obtener cualquier número del intervalo en el que acotamos a [math]a. Entonces la solución es: [math]127\leq a\leq 250
Como [math]a>b>c>d\geq 1 entonces [math]2\leq c\leq a-2
Si [math]c=2 tenemos [math]a=250
Si [math]c=a-2 tenemos [math]2a-2=252\Rightarrow 2a=254\Rightarrow a=127
Entonces [math]127\leq a\leq 250
Veamos que todos los valores cumplen: [math]a+(a-1)+(252-a)+(251-a)=a+a-a-a+252-1+251=251+251=502
Como [math]127\leq a entonces [math]a>a-1\geq 126>125\geq 252-a>251-a y como [math]a\leq 250 entonces [math]251-a\geq 1
Por lo tanto todos los valores cumplen con las desigualdades. Luego, todos los valores de [math]127\leq a\leq 250 cumplen.
Si [math]S es la cantidad de valores de [math]a, entonces [math]S=250-127+1=124
Finalmente, hay [math]124 valores posibles de [math]a
Factoricemos
$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 502$
$(a+b).(a-b) + (c+d).(c-d) = 502$
$(502-(c+d)) . (a-b) + (c+d).(c-d) = 502$
$502.(a-b) - (c+d).(a-b) + (c+d).(c-d) = 502$
$- (c+d).(a-b) + (c+d).(c-d) = 502 - 502.(a-b)$
$(c+d) .((c-d) - (a-b)) = 502.(1-(a-b))$
$(c+d) .(c -d - a+b) = 502.(1-a+b)=R$
Ok, llegados acá tenemos una situación particular. Miremos el lado derecho, como $b+1 \leq a$ entonces $R$ es $\leq0$
Caso 1) $R=0$
$(c+d) .(c -d - a+b) = 502.(1-a+b)=0$
Cómo $502$ y $c+d$ son positivos tenemos que:
$1-a+b=0$
y llegamos a que $a=b+1$
$c-d-a+b=0$
$c-d-1=0$
y llegamos a que $c=d+1$
Primero veamos que esto verifica la 2ª condición.
$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 502$
$(b+1)^2 -b^2 +(d+1)^2 - d^2 = 502$
$b^2 + 2b + 1 -b^2 + d^2 +2d+1-d^2 = 502$
$2b+1+2d+1= b+1 + b + d+1 +d = a + b+c + d = 502$
Verifica.
Ahora veamos cuantos valores puede tomar $b+1$.
Retomamos desde $2b+1+2d+1 =502$.
$2b+2d=2(b+d)=500$
$d = 250-b$
Como $d < d+1 < b$
$ d + 2 \leq b$
$ 250 - b + 2 = 252 - b \leq b$
$126 \leq b$
$127 \leq a$
Ahora, como $d$ es el menor de todos $1 \leq d$.
$1+b \leq d + b = 250$
$ b \leq 249$
$a \leq 250$
Por lo que juntando ambas: $127 \leq a \leq 250$
Que son $250-127+1= 124$ valores.
Caso 2) $R<0$
Miremos el lado izquierdo.
$(c+d) .(c -d - a+b)$
$(c+d) .(c+b -(a+d)) = (c+d) .(c+b - (502-(c+b)))$
$(c+d).(2(c+b)-502)$
Pero como esto es negativo y $c+d$ es positivo.
$2(c+b) < 502$
$c+b < 251$
Ahora, el lado derecho es múltiplo de $502$, por lo que:
$2(c+d).(c+b) - 502 (c+d) \equiv 2(c+d).(c+b) \equiv 0 \: (mod \: 502)$
Por lo que $502 |2.(c+d)(c+b)$.
Cómo $502 = 2.251$ tenemos que el $(c+d).(c+b)$, que es positivo, tiene que aportar al menos un factor $251$ (que es primo).
Pero:
$c+d < c+b < 251$
Y esto es imposible. Así que este caso no arroja soluciones.
Por diferencia de cuadrados: $(a+b)(a-b)+(c+d)(c-d)=502$, pero como $(a+b)\times 1+(c+d)\times 1=502$, entonces para encontrar soluciones a las ecuaciones se puede poner que $a-b=1$ y $c-d=1$.
Es cierto que $a-b = 1, c-d = 1$ (por otra razón), pero $(a+b)(a-b)+(c+d)(c-d)=(a+b)\times 1 + (c+d)\times 1 \not\Rightarrow a-b = 1, c-d = 1$, seria como decir que $a.b = 5.5 \Rightarrow a = b = 5$.
Pero como $a > b$ y $c > d$ entonces tenemos que $a-b-1\geq 0 \land c-d-1 \geq 0$, y claramente $a+b, c+d > 0$, de donde si consideramos $(a+b)(a-b-1)$ tiene un mínimo en $0$ y se alcanza si solo si $a-b-1 = 0$, de igual manera ocurre lo mismo con $(c+d)(c-d-1)$, de donde el menor valor que puede tomar la expresión es $0$ y se da cuando $a-b-1=0 \land c-d-1 = 0 \iff b = a-1 \land d = c-1$. Luego,
$$a+a-1+c+c-1 = 2a+2c-2 = 502 \iff a+c = 252$$
Y reemplazando en los cuadrados tenemos
$$a+a-1+c+c-1 = 502 \Rightarrow a+c = 252$$
Mismas ecuaciones, dado que $c < a \Rightarrow 2c < 252 \iff c < 126$, y como $d \geq 1 \Rightarrow c \geq 2$ por lo que $c \in \{2, 3, \dots, 125\}$ y para cada uno de esos valores tenemos una solución para $a$, pues en el máximo tenemos $c = 125 \Rightarrow a = 127 \Rightarrow b = 126 \Rightarrow d = 124$ de donde $a>b>c>d$ y en el mínimo tenemos $c = 2 \Rightarrow a = 250 \Rightarrow b = 249 \Rightarrow d = 1$ por lo que $a>b>c>d$, y esta claro que se cumple para los valores intermedios.
Concluimos que hay $125-2+1 = 124$ valores posibles de $a$.
