La Factorización más linda del mundo

[Fran5]

La verdad no recuerdo que haya una mención completa de ello en este foro, pero sí lo vi en aops con otro nombre.. así que aquí va

Supongamos que queremos hallar todas las soluciones enteras a la siguiente ecuación:

$$4x -3y + xy = 25$$

¿Un poco complicado, no? Pero si queremos hallar todas las soluciones enteras a la siguiente ecuación:

$$A \cdot B = 13$$

Ahora todo parece fácil (¿me van a decir que no?). Veamos cómo ir de la primer ecuación a la segunda.

Definición: Una expresión linda va a ser una expresión de la forma $Ax + By + Cxy$. Notemos que la $x$ aparece una vez solita, la $y$ también aparece una vez solita, pero luego aparecen multiplicándose de manera molesta.

Por ejemplo, Supongamos que queremos resolver la ecuación $5x + 6y + xy = 30$. Tenemos una expresión linda a la izquierda.
¿Por qué? Porque podemos sacar factor común en los últimos dos términos

\begin{align*}5x + 6y + xy & = 30 \\
5x + y(6+x)& = 30 \end{align*}
¿Y ahora? Bueno, quisiéramos alguien más multiplicado por $(6+x)$, pero sólo tenemos un $5x$.
Si agregamos $30$ de ambos lados, vemos la magia

\begin{align*}5x + y(6+x) & = 30 \\
5x + 30 + y(6+x) &= 30+30 \\
5(6+x) + y(x+6) &= 60\\
(5+y)(6+x) &= 60 \end{align*}

¡Genial! Ahora sólo tenemos que ver cuáles son los divisores de $60$. Para cada divisor $d = 6+x$ tenemos el número $5+y = \frac{60}{d}$.

Apliquemos esto a nuestro problema original.
\begin{align*}4x - 3y + xy & = 25 \\
4x + y (x - 3) &= 25 \\
4x - 12 + y(x-3) &=25-12 \\
4(x -3) + y(x-3) &=25-12 \\
(x-3)(4+y) & = 13
\end{align*}

Como $13$ es primo, ¡Sólo hay cuatro soluciones!
$(x-3,y+4) = (1, 13)$,
$(x-3,y+4) = (13, 1)$,
$(x-3,y+4) = (-1, -13)$,
$(x-3,y+4) = (-13, -1)$.

En resumen, podemos ver lo siguiente

Toda ecuación diofántica de la forma $$Ax + By + xy = D$$ se puede transformar en un producto de la forma $$(x+B)(y+A) = N$$ para algún $N$ que depende de nuestra ecuación

Con un poco más de cuentitas, tenemos

Toda ecuación diofántica de la forma $$Ax + By + Cxy = D$$ se puede transformar en un producto de la forma $$(ax+b)(cy+d) = N$$ para algún $N$ que depende de nuestra ecuación, con $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$

[drynshock]

Es el Simon's favourite factoring trick (SFFT), me hicieron bullying por decirle así una vez... le echo la culpa a @marcoalonzo por este post https://www.omaforos.com.ar/viewtopic.p ... 3&start=10

Spoiler: mostrar

Este post lo extiende a cuando $xy$ tiene coeficiente también.