Nacional 2001 N2 P5

[ktc123]

Sea [math]ABCD un trapecio de bases [math]AB y [math]CD, y lados no paralelos [math]BC y [math]DA, tal que [math]BAD = ADC = 90°, [math]AB = 54 y [math]CD = 24. Se sabe además que la bisectriz del ángulo [math]ABC corta a la bisectriz del ángulo [math]BCD en un punto [math]P del lado [math]DA. Calcular las medidas de los lados [math]BC y [math]DA

[ktc123]

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Por definición [math]ABCD es un trapecio rectángulo donde sus ángulos son [math]\angle ABP= \angle PBC=\alpha y [math]\angle BCP= \angle PCD =\beta

Como la suma de los ángulos internos de [math]ABCD es [math]360^{\circ}, entonces
[math]90^{\circ} +90^{\circ}+2\beta+2\alpha=360^{\circ} \Rightarrow 2\beta+2\alpha=180^{\circ} \Rightarrow 2(\beta+\alpha)=180^{\circ} \Rightarrow \beta+\alpha=90^{\circ}
Sabiendo eso, en el triángulo [math]BCP, como [math]\beta+\alpha=90^{\circ} \Rightarrow \angle BPC=90^{\circ}
También concluyo que todos los triángulos [math]ABP, BPC , CPD son rectángulos y similares (tienen los lados proporcionales)

Sea [math]F, punto en [math]CE, y sea [math]G, punto en [math]CB, puntos medios de sus respectivos lados y [math]E, prolongación de [math]CF en [math]AB. Entonces: [math]CD=AE=24 \Rightarrow EB=30

Como [math]FG || EB, [math]FG es base media de [math]EB
[math]2FG=EB \Rightarrow FG=15

Si sumo [math]FG+PF=39(suponiendo que el lado [math]PF=CD=24), el resultado es igual al resulatado del segmento [math]PG como mediana del trapecio [math]ABCD

[math]{AB+CD \over 2}=39 \Rightarrow, es decir que [math]PG es la mediana del trapecio y por ende [math]P tiene que ser punto medio de [math]DP. Por lo tanto, [math]DP=PA

[math]{24 \over DP}={PA \over 54} \Rightarrow {24 \over PA}={PA \over54} \Rightarrow 24.54=PA^2 \Rightarrow \sqrt{1296}=PA

[math]\Rightarrow 36=PA=DP \Rightarrow DA=72

En el triángulo [math]DCP
[math]DB^2+DP^2=CP^2 \Rightarrow CP=12\sqrt{13}
En el triángulo [math]ABP
[math]PA^2+AB^2=PB^2 \Rightarrow PB=18\sqrt{13}
En el triángulo [math]BCP
[math]CP^2+PB^2=BC^2 \Rightarrow BC=78

Concluyendo [math]BC=78 y [math]DA=72

[Martín Vacas Vignolo]

Fijate que está mal lo que decís para afirmar que P es el punto medio de DA. Primero suponés que PF=24, pero al suponer eso, estás suponiendo que justamente es punto medio de DA.

[Ivan]

Si sumo [math]FG+PF=39(suponiendo que el lado [math]PF=CD=24), el resultado es igual al resulatado del segmento [math]PG como mediana del trapecio [math]ABCD

[math]{AB+CD \over 2}=39 \Rightarrow, es decir que [math]PG es la mediana del trapecio y por ende [math]P tiene que ser punto medio de [math]DP. Por lo tanto, [math]DP=PA

Es cierto, estás usando lo que querés demostrar en la demostración.

De todos modos se puede probar que [math]P es el punto medio de [math]AD y el resto de la solución sigue valiendo.

Escribo una forma de probar eso:

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Tenemos que [math]\angle CPB=90^\circ = \angle CEB, entonces el cuadrilátero [math]CPEB es cíclico (hay una circunferencia que pasa por sus cuatro vértices).

Cómo [math]\angle CBP=\alpha=\angle BPE tenemos que las cuerdas [math]BP y [math]PE son iguales, o sea [math]BP=PE.

De acá se sigue que [math]APE y [math]DPC son congruentes y [math]P es punto medio de [math]AD.

[Nacho]

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Ya que tenemos figura, vamos a usar la misma notación. Voy a marcar dos puntos más: [math]X = CP \cap AB e [math]Y = BP \cap CD. Notemos que, como vio antes ktc123, [math]\angle BPC=90^\circ. Entonces, [math]BP es bisectriz y altura de [math]\triangle BCX, de donde es isósceles. Razonando así, vemos que [math]BCYX es un rombo. Vamos a nomenclar un poco los lados: [math]PC = a, [math]PB=b y [math]BC=c. Entonces, [math]AX = c-54. Como [math]P es la intersección de las diagonales, [math]XP=PC=a. Y notemos que [math]\angle BXC=\beta, por paralelas. Por definición de coseno en [math]\triangle XPA, tenemos que [math]\cos \beta = \dfrac{c-54}{a}. Notemos en [math]\triangle CDP que [math]\cos \beta = \dfrac{24}{a}. Combinando estas dos relaciones, [math]c-54 = 24 y así [math]c=78. Ahora, hagamos lo mismo de la defición del coseno pero en [math]\triangle BPC: [math]\cos \beta = \dfrac{a}{c} = \dfrac{a}{78}. Entonces, [math]a^2 = 24 \times 78. Ahora, hacemos lo mismo pero con [math]\text{sen} \beta pero en [math]\triangle ABP y [math]\triangle BPC, nos queda [math]b^2 = 54\times 78. Con Pitágoras sacamos [math]DP = \sqrt{24\times 78 - 24^2}=36. Análogamente, [math]AP = \sqrt{54\times 78 - 54^2} = 36. Y así [math]AD = 72.

Finalmente, la respuesta es [math]BC=78 y [math]AD=72.

[Martín Vacas Vignolo]

Otra forma de justificarlo, sin usar cíclicos explícitamente.

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Marcás F y G igual que lo hiciste vos, pero sin suponer que son puntos medios. Lo únicoq ue sabés es que P, F y G están alineados y esa recta es paralela a AB. Luego el ángulo ABP (que vos pusiste alpha) es igual al ángulo BPG.

Entonces el triángulo PGB es isósceles con PG=BG.

Lo mismo hacés con el ángulo CPG y el ángulo PCD, luego CG=PG.

De las dos igualdades sacás que G es punto medio de BC, o sea P es punto medio de AD.

[ilu29]

Otra cosa que podemos usar para sacar bc es escribir un punto j sobre bc tal que el angulo cpj sea igual a "a" y bpj sea igual a "b".
ahora vemos que abp=bjp y dcp=cpj, entonces ab=bj=54 y dc=cj=28. Entonces cj+jb= 54 +28 =78= bc.
despues sacamos ad con pitagoras.

(perdon por no escribir en latex)

[Hechicero]

Bueno mi solucion: [math]BC [math]= [math]78, [math]AD [math]= [math]72


Lo primero que realizo es extender las birectrices hasta que se corten con las rectas [math]AB y [math]CD. Lo llamo [math]E y [math]F respectivamente. Luego [math]X [math]= [math]EA.

Marco ángulos alternos internos y vemos que [math]EBC y [math]BCF son triángulos isósceles. Entonces [math]EB [math]= [math]BC [math]= [math]CE [math]= [math]54+x. Luego si trazo [math]FE vemos que [math]EBCF es un rombo, y ademas sus diagonales se interceptan perpendicularmente. Por teoría, sabemos que las diagonales se cortan en su punto medio, y por Thales, vemos que [math]AP [math]= [math]PD, luego de semejanza en triangulitos [math]x=24
Entonces [math]BC=54+24=78.

Luego trazo la perpendicular a [math]AB que pasa por el punto [math]C. Entonces tenemos que [math]ATCD es un rectángulo con [math]AT=24. y [math]AD=TC.

Luego vemos que [math]TB=30, y por Pitágoras tenemos que
[math]AD^2 [math]= [math]BC^2 [math]- [math]TB^2 [math]\rightarrow [math]CD=72

[Marco V]

Sin trazos auxiliares

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Sea [math]\angle{ABP}=\alpha y [math]\angle{DCP}=\beta \Rightarrow \angle{CPD}=90°-\beta y [math]\angle{BPA}=90°-\alpha \Rightarrow \angle{BPC}=\alpha +\beta

Viendo el triángulo [math]BPC, [math]2\alpha +2\beta=180°\Rightarrow \alpha +\beta =90°

Luego, [math]ABP, [math]BPC y [math]CPD son semejantes:

[math]\frac{BC}{BP}=\frac{BP}{54}

[math]54BC=BP^2 (1)

[math]\frac{BC}{CP}=\frac{CP}{24}

[math]24BC=CP^2 (2)

Con Pitágoras en [math]BPC usando (1) y (2):

[math]24BC+54BC=BC^2

[math]78=BC

Reemplazando esto último en (1) y (2): [math]CP=12\sqrt{13} y [math]BP=18\sqrt{13}

Por Pitágoras en [math]ABP y [math]CPD sale fácilmente que [math]AP=DP=36, ergo [math]AD=72