Recordemos las identidades$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$$y $\tan (180^\circ -\alpha )=-\tan \alpha$. Si un triángulo es no degenerado, entonces tiene ángulos $x,y,180^\circ -(x+y)$, con $x,y>0$ y $x+y<180^\circ$. Si además no tiene ángulos rectos, entonces todas las tangentes están definidas. Tenemos entonces que\begin{align*}\tan x+\tan y+\tan (180^\circ -(x+y)) & =\tan x+\tan y-\tan (x+y) \\
& =\tan x+\tan y-\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} \\
& =\tan x+\tan y+\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y-1} \\
& =(\tan x+\tan y)\left (1+\frac{1}{\tan x\tan y-1}\right ) \\
& =(\tan x+\tan y)\frac{\tan x\tan y}{\tan x\tan y-1} \\
& =\tan x\tan y\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y-1} \\
& =-\tan x\tan y\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} \\
& =-\tan x\tan y\tan (x+y) \\
& =\tan x\tan y\tan (180^\circ -(x+y)),
\end{align*}como queríamos.
Alternativamente, usando la identidad$$\tan (x+y+z)=\frac{\tan x+\tan y+\tan z-\tan x\tan y\tan z}{1-\tan y\tan z-\tan z\tan x-\tan x\tan y}$$se tiene que si $x,y,z$ son los ángulos de un triángulo de $\tan (x+y+z)=\tan 180^\circ =0$ se sigue que $\tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z$.
Empezamos con el triángulo $PUQ$, rectángulo en $U$, tal que $T$ este sobre $QU$. Luego, $\angle QPT = b$ y $\angle TPU = a$. Haciendo un poco de ángulitos podemos ver que
$$\angle PTU = 90^{\circ}-\alpha \iff \angle QTS = 90^{\circ}-\alpha \iff \angle TQS = \alpha$$
Luego, si marcamos $R$ en $QT$, tal que $SR \perp QT$, entonces $\angle TSR = 90^{\circ}-\angle RTS = \alpha$.
Finalmente sea $V$ en la recta $PU$ tal que $SV \perp PU$.
Con estos datos concluimos que $\triangle PTU \sim \triangle PSV \sim \triangle SRT \sim \triangle QRS$, ahora es cuestión de plantear semejanzas para llegar al resultado, para eso vamos a ir de atrás para adelante. Nuestro objetivo es llegar a que $\sin{a}\cos{b}+\sin{b}\cos{a} = \sin{(a+b)} = \frac{QU}{PQ}$
