Problemas de Tito IV

[Tiziano Brunelli]

Sea $p_i$ el $i$-ésimo número primo, con $p_1=2$, definimos $f_{p_i}$ como el producto de todos los primos desde $p_1$ hasta $p_i$, por ejemplo $f_{p_4}=2 \times 3 \times 5 \times 7=210$.
Demostrar que $f_{p_{i+1}}$ y $2^{p_i}-1$ son coprimos para todo entero $i>1$.

[enigma1234]

Spoiler: mostrar

Sea $q$ un primo tal que $q\mid 2^{p_i}-1$. Luego $\text{ord}_q(2)\mid p_i\Rightarrow \text{ord}_q(2)\in\{1,p_i\}$ .

Si $\text{ord}_q(2)=1\Rightarrow q\mid 2^1-1=1$ absurdo. Luego $\text{ord}_q(2)=p_i$ y como $\text{ord}_q(2)\mid q-1$ tenemos que $p_i\mid q-1\to p_i\leq q-1<q$, de donde deducimos que $q\geq p_{i+1}$.

Como $q-1$ es par y $p_i$ es impar ($i>1$), tambien podemos decir que $2p_i\mid q-1\to 2p_i\leq q-1<q$. Y como por el postulado de Bertrand hay un primo entre $p_i$ y $2p_i$ ( entonces $p_i<p_{i+1}\leq 2p_i$), deducimos que $q\neq p_{i+1}$ y por lo tanto $q\geq p_{i+2}$.

Finalmente, hemos demostrado que si $q\mid 2^{p_i}-1\to q\geq p_{i+2}$ de donde concluimos que:
$$\text{mcd} (f_{p_{i+1}},2^{p_i}-1)=1.$$

[Kechi]

¿Qué es $\text{ord}_q(2)$?

[enigma1234]

¿Qué es $\text{ord}_q(2)$?

Spoiler: mostrar

Para $a,n$ coprimos, $\text{ord}_n(a)=\min\{m\in\mathbb{N}: a^m\equiv 1\pmod{n}\}$, en general se cumple que $\text{ord}_n(a)\mid m$ para todo $m$ tal que $a^m\equiv 1\pmod{n}$, y como por el teorema de Euler $a^{\phi(n)}\equiv 1\pmod{n}$ tenemos que $\text{ord}_n(a)\mid \phi(n)$.

[Goku_Master]

Pero para i = 3 no rompe la regla? Por que tenes que:
fp3+1 = fp4 = 2*3*5*7 luego 2^3 - 1 = 7 por lo que:
MCD(210,7) = 7 y ya no cumple la condición

[Tiziano Brunelli]

Pero para i = 3 no rompe la regla? Por que tenes que:
fp3+1 = fp4 = 2*3*5*7 luego 2^3 - 1 = 7 por lo que:
MCD(210,7) = 7 y ya no cumple la condición

Leé denuevo, es $f_{p_{i+1}}$ comparado con $2^{p_i}$, no comparado con $2^i$. $p_3=5$ y es verdad que $2 \times 3 \times 5 \times 7=210$ es coprimo con $2^5-1=31$