Maratón de Problemas de Combinatoria

[BR1]

Bueeeno, ya existe una Maratón de Problemas y una Maratón de Problemas de Geometría, así que se me ocurrió crear una de combinatoria. Las reglas son más o menos las mismas que en las otras dos maratones, lo único diferente es que los problemas propuestos acá tienen que ser pura y exclusivamente de combinatoria. Y lo más importante: ¡diviértanse!

Problema 1
Se tiene un tablero de $5×100$ dividido en $500$ casillas. Inicialmente todas las casillas son blancas. Determinar la mayor cantidad de casillas que se pueden pintar de negro de tal modo que cada una de las $500$ casillas sea adyacente a como mucho dos casillas negras. (Dos casillas son adyacentes si tienen un lado en común.)

[lendsarctic280]

Boa ideia de Maratona!

Solução $1$:

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OBSERVAÇÃO: $B$: casinha branca, $N$: casinha pintada.

Para evitar confusões, vamos considerar esse tabuleiro como um que possui $5$ linhas e $100$ colunas.
Para satisfazer a condição, o tabuleiro $5\times100$ terá $500$ casinhas, onde em cada "bloco" da forma

X
XXX
X

existam até $3$ casinhas pintadas; vejamos isto com as primeiras $5$ linhas e $3$ colunas: $$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
N&N&B\\
\hline
N&B&B\\
\hline
B&B&N\\
\hline
N&N&N\\
\hline
N&B&B\\
\hline
\end{array}$$ Neste tabuleiro, foram pintadas $8$ de $15$ casinhas ao máximo. Se prolongarmos por mais uma coluna, teremos mais $4$ casinhas ($12$ de $20$); repetindo esse processo, descobrimos que a quantidade de casinhas em cada coluna é $4 \to 2 \to 2 \to 4 \to 2 \to 5 \to 0 \to 5 \to 0\cdots\cdots$ Assim, teremos ao máximo $(4+2+2+4+2)+5(48)+0(47)=239+15=\boxed{254}$. $\bigstar$

RESP.: $254$ de $500$. EXEMPLO: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&N&B&N&N&N&B&N&B\\
\hline
N&B&B&N&B&N&B&N&B\\
\hline
B&B&N&N&B&N&B&N&B\\
\hline
N&N&N&B&B&N&B&N&B\\
\hline
N&B&B&N&N&N&B&N&B\\
\hline
\end{array}\cdots$$

Problema $2$:
¿Cuántos números enteros positivos de cinco dígitos tienen la propiedad de que el producto de sus dígitos es $1000$?

[agleidhold]

Solución $2$

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Notamos que $1000=2^3\times 5^3$
Luego los dígitos que pueden tener nuestros números son $1,2,4,8,5.$
Es claro que van a tener tres $5.$
Luego para los otros dos dígitos dividimos en dos casos:
Si hay un $8,$ el otro dígito es un $1$
Si no hay un $8$ los otro dos dígitos tienen que ser un $2$ y un $4$ en algún orden.
Luego para cada uno de los casos la cantidad de números es $\frac{5!}{3!\times 1!\times 1!}=20$
Por lo que el total de números que cumplen es $20+20=40$

[agleidhold]

Problema $3$
Se tienen $8$ cuadraditos blancos y $4$ cuadraditos negros. Se los quiere ordenar en una fila, de forma tal que no haya dos cuadraditos negros uno inmediatamente al lado de otro ¿De cuántas formas se pueden ordenar?

[Ulis7s]

Solución $2$:

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Si los dígitos multiplicados dan $1000$, entonces ninguno es $0$ (porque sino el resultado seria $0$, y no se podría cumplir la condición del problema). Ademas, $1000$ tiene $3$ factores $ 5$ y en la multiplicación solo podrán aparecer como cincos, luego hay tres cincos, entre los otros $2$ dígitos dan multiplicados $8$, luego son $1$ y $8$ o $2$ y $4$. Luego la cantidad de números que cumplan esa condición van a ser las permutaciones de $(1,5,5,5,8)$ y $(2,4,5,5,5)$. Cada una tiene $20$ casos de modo que en total son $40$ números que cumplen la condición

[Ulis7s]

Me ganaron por minutos

[Ulis7s]

Solución $3$:

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Ponemos las negras así:
$_N_N_N_N_$
Luego por la condición del enunciado hay por lo menos tres fichas blanca como se ve:
$_NB_NB_NB_N_$
Entonces el problema se traduce en distribuir $5$ bolitas en $5$ cajas y por Cajitas y Bolitas esto nos da $\binom{9}{4}=630$

[Ulis7s]

Problema $4$: En un tablero de $8 \times 8$ se pintan $12$ casillas de color magenta, demostrar que se pueden elegir $4$ filas y $4$ columnas talque estén las $12$ casillas coloreadas

[lendsarctic280]

Solução $4$

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OBSERVAÇÃO: $M$: casinha pintada de Magenta; $P$: casinha escolhida; $B$ casinha livre.

Se $12$ casinhas foram pintadas e temos que escolher $4$ linhas e $4$ colunas em um $8\times8$, estaremos passando por no mínimo $4\times8+4\times4=32+16=48>12$ casinhas. Então passaremos por $36$ casinhas a mais; se escolhemos as colunas $\{1,2,3,4\}$ e as linhas $\{1,2,3,4\}$, aqui vai um exemplo: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
M&M&P&P&P&P&P&P\\
\hline
M&M&P&P&P&P&P&P\\
\hline
M&M&P&P&P&P&P&P\\
\hline
M&M&P&P&P&P&P&P\\
\hline
M&P&P&P&B&B&B&B\\
\hline
M&P&P&P&B&B&B&B\\
\hline
M&P&P&P&B&B&B&B\\
\hline
M&P&P&P&B&B&B&B\\
\hline
\end{array}$$ Como há $36$ "$P$", nossa solução está confirmadíssima, mesmo no caso mais favorável. $\bigstar$

Problema $5$:

Lendsarctic y Agleidhold juegan un juego. En este juego, cada persona elige un dígito del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y luego suma los dos números. Si el resultado de la suma es mayor a $9$, Lendsarctic gana; De lo contrario, Agleidhold gana. ¿Cuál es la probabilidad de que Lendsarctic gane, sabiendo que los números elegidos por cada jugador son diferentes entre sí?

NOTA: Los casos "Lendsarctic elige $x$ y Agleidhold elige $y$" y "Lendsarctic elige $y$ y Agleidhold elige $x$" deben considerarse distintos.
La probabilidad debe escribirse en la forma "$\frac{x}{y}$".

[agleidhold]

Solución $5$

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Sea $A=\{1;2;3;4;5;6;7;8\},$ vemos que $\forall n\in A, \exists! n’\in A$ tal que $n+n’=9$
Luego, dados $a,b$ cualesquiera en $A:$
Si $a+b<9\Leftrightarrow -a-b>-9\Leftrightarrow 9-a+9-b>9\Leftrightarrow a’+b’>9$
(Notamos que $a’’=a)$
Por lo que a cada suma menor a $9$ le podemos asignar una única suma mayor a $9$ y viceversa, por lo que concluimos que existe la misma cantidad de sumas mayores a $9$ que menores a $9.$
Luego existen $8$ sumas que son iguales a $9$ y en total existen $8\times 7=56$ posibles sumas. Luego llamamos $x$ a la cantidad de sumas mayores a $9$(que es la misma que las menores a $9)$ donde resulta $2x+8=56\Rightarrow x=24.$
De esa forma Lendsarctic ganará en $24$ de la posibles $56,$ por lo que su probabilidad de ganar es de $\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$