Humpty & Dumpty points

gerez_robert
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Humpty & Dumpty points

Mensaje sin leer por gerez_robert »

Bueno, encontré un par de puntos notables con propiedades muy interesantes, voy a dejar todo lo que sé de ellos y mis demos de cada propiedad.
Sea $ABC$ un triángulo, de ortocentro $L$.
Se define al $A$-Humpty point, como el punto $H_A$ interior al $\triangle ABC$, tal que, $\angle H_ABC=\angle H_AAB$ y $\angle H_ACB=\angle H_AAC$.
Este punto notable tiene las siguientes propiedades:
a)$AH_A$ es una mediana del $\triangle ABC$.
b)$H_A, L, B$ y $C$ son concíclicos.
c)$LH_A \perp AH_A$
Demostración del apartado "a)":
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Sea $M$ la intersección de $AH_A$ y $ BC$.
Por la condición de $\angle H_ABC=\angle H_AAB$ y $\angle H_ACB=\angle H_AAC$, tenemos que $BC$ es tangente a $(AH_AB)$ y a $(AH_AC)$ en $B$ y $C$ respectivamente.
Luego por potencia de puntos tenemos, $MB^{2}=MH_A.MA=MC^{2}$ $\Rightarrow$ $MB=MC$, de donde $M$ es el punto medio de $BC$. $\blacksquare$
Demostración del apartado "b)":
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Supongamos que $AC≥AB$(es solo para que $L$ esté "más a la derecha" que $H_A$ cuando el vértice $A$ está "arriba", nada más porque así lo tengo yo en mi grafico).
Vamos a ver que $\angle H_ACL=\angle H_ABL$.
Tenemos, $\angle H_ACL=\angle H_ACB-\angle LCB=\angle H_AAC-\angle LAB$.
Por otro lado, $\angle H_ABL=\angle LBC-\angle H_ABC=\angle LAC-\angle H_AAB=(\angle H_AAC+\angle H_AAL)-(\angle H_AAL+\angle LAB)=\angle H_AAC-\angle LAB$.
$\Rightarrow$ $\angle H_ACL=\angle H_ABL$.
Por tanto, $H_ALBC$ es cíclico. $\blacksquare$
Demostración del apartado "c)":
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Sea $K$ la intersección de $BL$ y $AC$.
Se sigue $BK \perp AC$.
Como $H_ALBC$ es cíclico, tenemos $\angle KLH_A=\angle H_ACB=\angle H_AAC=\angle H_AAK$.
$\Rightarrow$ $KALH_A$ es cíclico, de donde $LH_A \perp AH_A$. $\blacksquare$
Este punto tambien está relacionado con la circunferencia de Apolonio del punto $A$ pero no sabría explicar esta propiedad porque no estudie dicho objeto nunca.

Pasemos con el $A$-Dumpty point(con la misma notación).
Sea $O$ el centro de $(ABC)$.
Se define al $A-$Dumpty point como el punto $D_A$ interior al $\triangle ABC$, tal que, $\angle D_ACA=\angle D_AAB$ y $\angle D_ABA=\angle D_AAC$.
Este punto notable tiene las siguientes propiedades:
w)La rotohomotecia centrada en $D_A$, de razón $r=\frac{AC}{AB}$ y ángulo $\angle CD_AA$ envía $\triangle CD_AA$ a $\triangle AD_AB$.
x)$AD_A$ es la $A$-simediana en $\triangle ABC$.
y)$O, D_A, B$ y $C$ son concíclicos.
z)$OD_A \perp AD_A$.
Demostración del apartado "w)":
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Bueno, por terceros angulos $\angle CD_AA=\angle AD_AB$ y $\triangle CD_AA$~$\triangle AD_AB$, por tanto son rotohomoteticos en $D_A$. $\blacksquare$
Demostración de los apartados "x)" y "z)":
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Sea $E$ la segunda intersección de $AD_A$ y $(ABC)$($E≠A$).
Tenemos, $\angle CAE=\angle CBE$, por tanto $BD_A$ y $BC$ son isogonales una respecto a la otra, analogamente $CD_A$ y $BC$ son isogonales.
Luego, $\angle ABC=\angle D_ABE$, además, $\angle BAC=\angle D_AAC+\angle D_AAB=\angle D_ABA+\angle D_AAB=\angle BD_AE$.
$\Rightarrow$ $\triangle ABC$~$\triangle D_ABE$. Analogamente, $\triangle ABC$~$\triangle D_AEC$.
Luego por Thales:
$\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{D_AE} \Rightarrow BC.D_AE=BE.AC$ y $\frac{BC}{AB}=\frac{CE}{D_AE} \Rightarrow BC.D_AE=AB.CE$.
$\Rightarrow AB.CE=BE.AC \Rightarrow ABEC$ es armónico.
Si conocen un poco de cuadrilateros armónicos sabran que $AE$ es la $A$-simediana en $\triangle ABC$.
Eso por un lado demuestra el apartado "x)". Por otro lado, dicha propiedad también se cumple para la diagonal $BC$, en efecto, $BC$ es la $B$-simediana en $\triangle ABE$, luego $D_A$ es el punto medio de $AE$, y por tanto $OD_A \perp AD_A$. $\blacksquare$
Demostración del apartado "y)"
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Veamos que $\angle OCD_A=\angle D_ABO$.
Tenemos, $\angle OCD_A=\angle D_ACA-\angle OCA=\angle D_AAB-\angle OAC=\angle D_AAB-(\angle D_AAC-\angle D_AAO)=
(\angle D_AAB+\angle D_AAO)-\angle D_ABA=\angle OAB-\angle D_ABA=\angle OBA-\angle D_ABA=\angle D_ABO$.
$\Rightarrow$ $OD_ABC$ es cíclico. $\blacksquare$
Y eso es todo lo que sé hasta ahora.
Última edición por gerez_robert el Sab 08 Jun, 2024 2:15 am, editado 3 veces en total.
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BrunZo

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Re: Humpty & Dumpty points

Mensaje sin leer por BrunZo »

Si querés buscarlos en el foro capaz te aparece buscando "punto mágico de la mediana" para el Humpty point.
El otro no me acuerdo si tenía nombre conocido por acá
1  
gerez_robert
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Re: Humpty & Dumpty points

Mensaje sin leer por gerez_robert »

Ahhh, no sabia que tenia otro nombre acá en Argentina, gracias!
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Fran5

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Re: Humpty & Dumpty points

Mensaje sin leer por Fran5 »

El otro es el punto mágico de la simediana :lol:
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Gianni De Rico

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Re: Humpty & Dumpty points

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Fran5 escribió: Mar 04 Jun, 2024 12:42 pm El otro es el punto mágico de la simediana :lol:
Por lo menos yo siempre le dije así jeje
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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