Selectivo 25° Ibero - Problema 2

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Caro - V3

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Selectivo 25° Ibero - Problema 2

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mié 02 Feb, 2011 10:00 pm

Hallar todos los números primos positivos [math] tales que [math] es un cuadrado perfecto.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Vladislao

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Re: Selectivo 25° Ibero - Problema 2

Mensaje sin leer por Vladislao » Vie 25 Feb, 2011 12:31 am

Caro - V3 escribió:Hallar todos los números primos positivos [math] tales que [math] es un cuadrado perfecto.
Spoiler: mostrar
Cuando uno se sienta a hacer Teoría de Números, y termina haciendo álgebra... :roll:

[math]

Caso 1: [math]

[math]

[math]

[math] (1)

Veamos a (1) como una cuadrática en p. El discriminante debe ser un cuadrado:

[math]
[math]

Como [math] es un cuadrado, tenemos que:
[math]

[math]

Esta desigualdad se cumple para valores de q entre 1 y 10. Buscamos valores de q tales que [math] sea un cuadrado, el único valor posible es [math], lo reemplazamos en (1) y obtenemos las raíces [math] y [math].

Caso 2: [math]

[math]

[math]

La vemos como una cuadrática, y el discriminante debe ser un cuadrado: [math].

Resolviendo esa desigualdad vemos que q oscila entre 1 y 12. Buscamos los valores impares de q tales que [math] sea un cuadrado. El único valor es [math], que nos devuelve [math] que ya la teníamos y [math].

En resumen, los únicos valores posibles de p son 2, 7 y 11.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

Agusanso

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Re: Selectivo 25° Ibero - Problema 2

Mensaje sin leer por Agusanso » Lun 03 Dic, 2012 7:44 pm

Pero si "p" fuera igual a "tres" la cuenta no daria 27-12+9=24, que no es un cuadrado perfecto?
Aguante el paco vieja

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Vladislao

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Re: Selectivo 25° Ibero - Problema 2

Mensaje sin leer por Vladislao » Lun 03 Dic, 2012 8:29 pm

Agusanso escribió:Pero si "p" fuera igual a "tres" la cuenta no daria 27-12+9=24, que no es un cuadrado perfecto?
Si, fue un error de tipeo, en la solución encontré [math], [math] y [math]. No sé por qué escribí [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

Peznerd
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Re: Selectivo 25° Ibero - Problema 2

Mensaje sin leer por Peznerd » Dom 10 Nov, 2019 3:29 pm

Vladislao escribió:
Vie 25 Feb, 2011 12:31 am
Caro - V3 escribió:Hallar todos los números primos positivos $p$ tales que $p^3 - 4p + 9$ es un cuadrado perfecto.
Spoiler: mostrar
Cuando uno se sienta a hacer Teoría de Números, y termina haciendo álgebra... :roll:

$p^3-4p+9=k^2 \Rightarrow p(p^2-4)=(k+3)(k-3) \Rightarrow p|k \pm 3$

Caso 1: $k+3=pq$

$p(p^2-4)=pq(pq-6)$

$p^2-4=pq^2-6q$

$p^2-pq^2+6q-4=0$ (1)

Veamos a (1) como una cuadrática en p. El discriminante debe ser un cuadrado:

$q^4-4\cdot (6q-4) = r^2$
$q^4-24q+16=r^2 < q^4$

Como $q^4-24q+16$ es un cuadrado, tenemos que:
$q^4-24q+16 \leq (q^2-1)^2$

$q^4-24q+16 \leq q^4-2q^2+1 \Rightarrow -24q+16 \leq -2q^2+1 \Rightarrow 2q^2-24q+15 \leq 0$

Esta desigualdad se cumple para valores de q entre 1 y 10. Buscamos valores de q tales que $q^4-24q+16$ sea un cuadrado, el único valor posible es $q=3$, lo reemplazamos en (1) y obtenemos las raíces $p = 2$ y $p=7$.

Caso 2: $k-3=pq$

$p(p^2-4)=pq(pq+6)$

$p^2-pq^2-6q-4=0$

La vemos como una cuadrática, y el discriminante debe ser un cuadrado: $q^4+24q+16=t^2>(q^2)^2 \Rightarrow q^4+24q+16 \geq (q^2+1)^2$.

Resolviendo esa desigualdad vemos que q oscila entre 1 y 12. Buscamos los valores impares de q tales que $q^4+24q+16$ sea un cuadrado. El único valor es $q=3$, que nos devuelve $p=2$ que ya la teníamos y $p=11$.

En resumen, los únicos valores posibles de p son 2, 7 y 11.
¿De dónde sacaste las expresiones:
$q^4-4\cdot (6q-4) = r^2$
$q^4-24q+16=r^2 < q^4$
y qué tienen que ver con la solución? ¿Podrías gaber usado resolvente? Es lo único que no entendí.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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