Problema 2. Regional 1997 N2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
AgustinChenna.

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2021
Mensajes: 188
Registrado: Mié 03 Ago, 2011 9:23 pm
Medallas: 1
Nivel: Ñandú

Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por AgustinChenna. »

Sean [math] un triángulo, [math] el punto medio [math] y [math] el punto medio de [math]. La recta [math] intersecta al lado [math] en [math]. Si [math], calcular [math].
Avatar de Usuario
AgustinChenna.

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2021
Mensajes: 188
Registrado: Mié 03 Ago, 2011 9:23 pm
Medallas: 1
Nivel: Ñandú

Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por AgustinChenna. »

Spoiler: mostrar
Imagen
Trazo la base media del lado [math] del triangulo [math] que corta a [math] en [math] (y pasa por [math] que por enunciado es punto medio de [math]). Luego con el triangulo [math] tenemos que [math] es la mediana del lado [math] y [math] es la mediana del lado [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] con [math], como las medianas se cortan en proporción [math], tenemos que [math] y [math]. Luego, como [math] además es la intersección de la base media paralela a [math] con una ceviana trazada desde [math] y que corta al lado [math], tenemos que [math]. Finalmente, [math]
Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023
Mensajes: 591
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 17
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Gran hora para subir problemas Chenny! jajajajaj
Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
MaxeRap
Mensajes: 6
Registrado: Dom 18 Ago, 2013 12:29 pm
Nivel: Ñandú

Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por MaxeRap »

Perdon por mi ignorancia, pero una pregunta, ¿como te diste cuenta de que las medianas se cortan en proporcion 2/1?, es lo único que no me cierra. Saludos.
¿Sabías que de la serie de Fibonacci, el cociente entre dos valores consecutivos -el mayor sobre el menor- se aproxima al numero áureo?
tuvie

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Oro-OFO 2015 OFO - Medalla de Oro-OFO 2016 FOFO 6 años - Medalla Especial-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 OFO - Jurado-OFO 2021 OFO - Jurado-OFO 2022
Mensajes: 629
Registrado: Dom 09 Sep, 2012 11:58 am
Medallas: 14
Nivel: Exolímpico

Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por tuvie »

Es una propiedad del baricentro (intersección de las medianas): este punto corta a las medianas en la proporción 2:1, con el segmento interior de la mediana que une el vertice con el baricentro mas grande que el otro.
Avatar de Usuario
joa.fernandez

FOFO 8 años - Mención Especial-FOFO 8 años OFO - Mención-OFO 2019 FOFO 9 años - Mención Especial-FOFO 9 años COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Medalla de Plata-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Copa-FOFO 10 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2021 OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
OFO - Jurado-OFO 2023
Mensajes: 84
Registrado: Jue 20 Sep, 2018 9:40 pm
Medallas: 11
Nivel: Exolímpico

Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por joa.fernandez »

Spoiler: mostrar
Por Menelao en $\triangle{AOE}$ tenemos que:
$$\frac{AC}{CE}\frac{BE}{BO}\frac{OD}{AD}=1$$
Pero, como $E$ y $O$ son puntos medios:
$\frac{2}{1}\frac{2}{1}\frac{OD}{AD}=1$ , de donde: $4OD=AD$
$AD=AO+OD$
También $AO=12$, entonces:
$4OD=12+OD$ , luego:
$OD=4$
2  
Rotohomotecias como estilo de vida
Sergiohuang2004

OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 35
Registrado: Dom 23 Jun, 2019 7:45 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por Sergiohuang2004 »

Duda
Spoiler: mostrar
Hola, me pueden explicar este menelao?

Porque a lo sumo me dan estas relaciones

CE.AO.BD/ AE.OD.BC =1

o tambien si lo miro en el otro triángulo es

CD.BO.AF/BD.OE.AC=1

ya me pasó esto en un problema de nacional cuando estaba practicando :)
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sergiohuang2004 escribió: Jue 02 Dic, 2021 10:03 pm Duda
Spoiler: mostrar
Hola, me pueden explicar este menelao?

Porque a lo sumo me dan estas relaciones

CE.AO.BD/ AE.OD.BC =1

o tambien si lo miro en el otro triángulo es

CD.BO.AF/BD.OE.AC=1

ya me pasó esto en un problema de nacional cuando estaba practicando :)
Spoiler: mostrar
Ahí estás haciendo Menelao en $CAD$ y en $CBE$, respectivamente. El Menelao de Joa es en $AOE$.
De paso, dejo otra solución
Spoiler: mostrar
Sean $F$ el punto medio de $BC$ y $G$ el simétrico de $E$ por $F$. Como $F$ es el punto medio de $BC$ y de $EG$, entonces $BECG$ es un paralelogramo, con lo que $BG\parallel CE$ y $BG=CE$. Como $E$ es el punto medio de $AC$, entonces $CE=EA$, de modo que $BG\parallel EA$ y $BG=EA$, con lo que $ABGE$ es un paralelogramo. Por lo tanto, sus diagonales se cortan en su punto medio, es decir que $A,O,G$ están alineados y $O$ es el punto medio de $AG$, en particular, $AG=2AO=24$.
Como $AC=2AE=2BG$, por Thales se sigue que $AD=2DG$, es decir que $AG=3DG$, con lo que $DG=8$. Luego, $OD=AG-AO-DG=24-12-8=4$, y listo.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Sergiohuang2004

OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 35
Registrado: Dom 23 Jun, 2019 7:45 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por Sergiohuang2004 »

Gianni De Rico escribió: Jue 02 Dic, 2021 10:44 pm
Sergiohuang2004 escribió: Jue 02 Dic, 2021 10:03 pm Duda
Spoiler: mostrar
Hola, me pueden explicar este menelao?

Porque a lo sumo me dan estas relaciones

CE.AO.BD/ AE.OD.BC =1

o tambien si lo miro en el otro triángulo es

CD.BO.AF/BD.OE.AC=1

ya me pasó esto en un problema de nacional cuando estaba practicando :)
Spoiler: mostrar
Ahí estás haciendo Menelao en $CAD$ y en $CBE$, respectivamente. El Menelao de Joa es en $AOE$.
De paso, dejo otra solución
Spoiler: mostrar
Sean $F$ el punto medio de $BC$ y $G$ el simétrico de $E$ por $F$. Como $F$ es el punto medio de $BC$ y $EG$, entonces $BECG$ es un paralelogramo, con lo que $BG\parallel CE$ y $BG=CE$. Como $E$ es el punto medio de $AC$, entonces $CE=EA$, de modo que $BG\parallel EA$ y $BG=EA$, con lo que $ABGE$ es un paralelogramo. Por lo tanto, sus diagonales se cortan en su punto medio, es decir que $A,O,G$ están alineados y $O$ es el punto medio de $AG$, en particular, $AG=2AO=24$.
Como $AC=2AE=2BG$, por Thales se sigue que $AD=2DG$, es decir que $AG=3DG$, con lo que $DG=8$. Luego, $OD=AG-AO-DG=24-12-8=4$, y listo.

Spoiler: mostrar
Es como en la figura 1 , no? Porque siempre analizaba que los demás dos puntos "corte a los lados, o en realidad estén en los lados" , entonces no me
podía imaginar la situación de la figura 1 donde los tres puntos están en la prolongación.
También tipo había visto bastante cosas pero siempre la había visto de esa manera, por eso no me salía
Me guié por esto y me salió! :D
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Avatar de Usuario
Nando

OFO - Mención-OFO 2019
Mensajes: 191
Registrado: Mar 31 Jul, 2018 7:39 pm
Medallas: 1

Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por Nando »

Sergiohuang2004 escribió: Jue 02 Dic, 2021 10:03 pm
Spoiler: mostrar
Es como en la figura 1 , no? Porque siempre analizaba que los demás dos puntos "corte a los lados, o en realidad estén en los lados" , entonces no me
podía imaginar la situación de la figura 1 donde los tres puntos están en la prolongación.
También tipo había visto bastante cosas pero siempre la había visto de esa manera, por eso no me salía
Me guié por esto y me salió! :D
Vaya dato perturbador :roll: :roll:
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Responder