Sean [math]ABC un triángulo, [math]E el punto medio [math]AC y [math]O el punto medio de [math]BE. La recta [math]AO intersecta al lado [math]BC en [math]D. Si [math]AO=12, calcular [math]OD.
Trazo la base media del lado [math]BC del triangulo [math]ABC que corta a [math]AB en [math]F (y pasa por [math]E que por enunciado es punto medio de [math]AC). Luego con el triangulo [math]ABE tenemos que [math]EF es la mediana del lado [math]AB y [math]AO es la mediana del lado [math]BE. Sea [math]R el punto de intersección de [math]EF con [math]AO, como las medianas se cortan en proporción [math]2/1, tenemos que [math]AR = 2 OR = 8 y [math]OR = 4. Luego, como [math]R además es la intersección de la base media paralela a [math]BC con una ceviana trazada desde [math]A y que corta al lado [math]BC, tenemos que [math]AR = RD = 8. Finalmente, [math]OD = RD - RO = 4
Perdon por mi ignorancia, pero una pregunta, ¿como te diste cuenta de que las medianas se cortan en proporcion 2/1?, es lo único que no me cierra. Saludos.
¿Sabías que de la serie de Fibonacci, el cociente entre dos valores consecutivos -el mayor sobre el menor- se aproxima al numero áureo?
Es una propiedad del baricentro (intersección de las medianas): este punto corta a las medianas en la proporción 2:1, con el segmento interior de la mediana que une el vertice con el baricentro mas grande que el otro.
Por Menelao en $\triangle{AOE}$ tenemos que:
$$\frac{AC}{CE}\frac{BE}{BO}\frac{OD}{AD}=1$$
Pero, como $E$ y $O$ son puntos medios:
$\frac{2}{1}\frac{2}{1}\frac{OD}{AD}=1$ , de donde: $4OD=AD$
$AD=AO+OD$
También $AO=12$, entonces:
$4OD=12+OD$ , luego:
$OD=4$
Sean $F$ el punto medio de $BC$ y $G$ el simétrico de $E$ por $F$. Como $F$ es el punto medio de $BC$ y de $EG$, entonces $BECG$ es un paralelogramo, con lo que $BG\parallel CE$ y $BG=CE$. Como $E$ es el punto medio de $AC$, entonces $CE=EA$, de modo que $BG\parallel EA$ y $BG=EA$, con lo que $ABGE$ es un paralelogramo. Por lo tanto, sus diagonales se cortan en su punto medio, es decir que $A,O,G$ están alineados y $O$ es el punto medio de $AG$, en particular, $AG=2AO=24$.
Como $AC=2AE=2BG$, por Thales se sigue que $AD=2DG$, es decir que $AG=3DG$, con lo que $DG=8$. Luego, $OD=AG-AO-DG=24-12-8=4$, y listo.
Sean $F$ el punto medio de $BC$ y $G$ el simétrico de $E$ por $F$. Como $F$ es el punto medio de $BC$ y $EG$, entonces $BECG$ es un paralelogramo, con lo que $BG\parallel CE$ y $BG=CE$. Como $E$ es el punto medio de $AC$, entonces $CE=EA$, de modo que $BG\parallel EA$ y $BG=EA$, con lo que $ABGE$ es un paralelogramo. Por lo tanto, sus diagonales se cortan en su punto medio, es decir que $A,O,G$ están alineados y $O$ es el punto medio de $AG$, en particular, $AG=2AO=24$.
Como $AC=2AE=2BG$, por Thales se sigue que $AD=2DG$, es decir que $AG=3DG$, con lo que $DG=8$. Luego, $OD=AG-AO-DG=24-12-8=4$, y listo.
Es como en la figura 1 , no? Porque siempre analizaba que los demás dos puntos "corte a los lados, o en realidad estén en los lados" , entonces no me
podía imaginar la situación de la figura 1 donde los tres puntos están en la prolongación.
También tipo había visto bastante cosas pero siempre la había visto de esa manera, por eso no me salía
Me guié por esto y me salió!
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Es como en la figura 1 , no? Porque siempre analizaba que los demás dos puntos "corte a los lados, o en realidad estén en los lados" , entonces no me
podía imaginar la situación de la figura 1 donde los tres puntos están en la prolongación.
También tipo había visto bastante cosas pero siempre la había visto de esa manera, por eso no me salía
Me guié por esto y me salió!
Vaya dato perturbador
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