Problema 2. Regional 1997 N2

[AgustinChenna.]

Sean [math]ABC un triángulo, [math]E el punto medio [math]AC y [math]O el punto medio de [math]BE. La recta [math]AO intersecta al lado [math]BC en [math]D. Si [math]AO=12, calcular [math]OD.

[AgustinChenna.]

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Trazo la base media del lado [math]BC del triangulo [math]ABC que corta a [math]AB en [math]F (y pasa por [math]E que por enunciado es punto medio de [math]AC). Luego con el triangulo [math]ABE tenemos que [math]EF es la mediana del lado [math]AB y [math]AO es la mediana del lado [math]BE. Sea [math]R el punto de intersección de [math]EF con [math]AO, como las medianas se cortan en proporción [math]2/1, tenemos que [math]AR = 2 OR = 8 y [math]OR = 4. Luego, como [math]R además es la intersección de la base media paralela a [math]BC con una ceviana trazada desde [math]A y que corta al lado [math]BC, tenemos que [math]AR = RD = 8. Finalmente, [math]OD = RD - RO = 4

[Turko Arias]

Gran hora para subir problemas Chenny! jajajajaj

[MaxeRap]

Perdon por mi ignorancia, pero una pregunta, ¿como te diste cuenta de que las medianas se cortan en proporcion 2/1?, es lo único que no me cierra. Saludos.

[tuvie]

Es una propiedad del baricentro (intersección de las medianas): este punto corta a las medianas en la proporción 2:1, con el segmento interior de la mediana que une el vertice con el baricentro mas grande que el otro.

[joa.fernandez]

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Por Menelao en $\triangle{AOE}$ tenemos que:
$$\frac{AC}{CE}\frac{BE}{BO}\frac{OD}{AD}=1$$
Pero, como $E$ y $O$ son puntos medios:
$\frac{2}{1}\frac{2}{1}\frac{OD}{AD}=1$ , de donde: $4OD=AD$
$AD=AO+OD$
También $AO=12$, entonces:
$4OD=12+OD$ , luego:
$OD=4$