En el pizarrón estaban escritos los números de [math]1 a [math]k ([math]k es un entero positivo desconocido). Se borró uno de los números. El promedio de los números que quedaron es [math]25,25 . ¿Qué número se borró?
Llamemos $n$ al número borrado. Como $1+2+\ldots +(k-1)+k=\frac{k(k+1)}{2}$, tenemos que el promedio de los números que quedan es $$25,25=\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}$$ Dado que el promedio de los números es mayor a $25$, alguno de los números debe ser mayor a $25$. De esto se sigue que $k\geq 26$.
Ahora tenemos $25,25=\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}\leq \frac{k(k+1)}{2(k-1)}$, entonces $k+1\geq 2\cdot\frac{k-1}{k} \cdot25,25$ y finalmente $$k\geq 2\cdot\frac{k-1}{k}\cdot 25,25-1$$ Además, como $k\geq 26$ tenemos $\frac{k-1}{k}\geq \frac{25}{26}$. De esto tenemos que $k\geq 2\cdot \frac{25}{26}\cdot 25,25-1>47$. Entonces $k\geq 48$.
Podemos aplicar el mismo argumento de antes usando $k\geq 48$. Tenemos que $k\geq 2\cdot \frac{47}{48} \cdot 25,25-1>48$. Entonces $k\geq 49$.
Ahora $25,25=\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}\geq \frac{\frac{k(k+1)}{2}-k}{k-1}=\frac{k(k-1)}{2(k-1)}=\frac{k}{2}$ y entonces $k\leq 50,5$. Entonces $k\leq 50$.
Concluimos que $49\leq k\leq 50$.
Despejando tenemos $n=\frac{k(k+1)}{2}-25,25(k-1)$. Si $k=50$ entonces $n=37,75$ que no es entero. Entonces $k=49$ y tenemos $n=13$.
Entonces el número borrado es $13$.
Comentarios: La intuición detrás de esta solución es que (cuando $k$ es grande) borrar un número no altera mucho el promedio, ya que un número representa una parte pequeña de la suma y $k-1$ es bastante parecido a $k$. Entonces el valor de $n$ realmente no influye demasiado en el promedio de los restantes números.
Para hacer un argumento hay que cuantificar esta idea. Algo razonable es empezar notando que $k\geq 25.25$ y tener así una primera idea de cuan grande tiene que ser $k$. Luego se puede usar la idea para refinar la cota y obtener $k\geq 48$ o $k\geq 49$. Con la misma intuición encontramos la cota superior $k\leq 50$.
Intuitivamente era esperable que las cotas fueran suficientemente buenas como para tener que probar muy pocos casos a mano.
También se puede descartar directamente el caso $k=50$ (como en la solución de Vladislao) argumentando que $k-1$ tiene que ser un número par.
Si se elimina uno de los $k$ números, digamos $n$, y se calcula el promedio se obtiene: $\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}=\frac{k(k+1)-2n}{2(k-1)}=25,25$.
Resto y sumo $k$ en el numerador, agrupo convenientemente, distribuyo el denominador y simplifico las fracciones.
$\frac{k(k-1)}{2(k-1)}+\frac{2(k-n)}{2(k-1)}=\frac{k}{2}+\frac{k-n}{k-1}=25,25$.
$\frac{k}{2}=25,25-\frac{k-n}{k-1}$. Esta última fracción es un número menor o igual que $1$, porque $n$ es mayor o igual que $1$.
Si $k$ es impar, la fracción del miembro izquierdo en su representación decimal tiene una sola cifra decimal y vale $5$, entonces en el miembro derecho la fracción debe valer $0,75$. En este caso el segundo miembro vale $24,50$ y entonces debe ser $k=49$. Resolviendo la ecuación $\frac{49-n}{49-1}=0,75$, se obtiene $n=13$, que es la solución.
Si $k$ es par, la fracción del miembro izquierdo es natural. Para que esto suceda, debe pasar que la fracción del miembro derecho vale $0,25$. En este caso el miembro de la derecha vale $25$, y para que esto suceda, debe ser $k=50$. Si se resuelve la ecuación $\frac{50-n}{50-1}=0,25$, se llega a un valor de $n=37,75$, que no es solución por no ser entero.
Notemos que si sumamos los números $1, 2, 3, ..., k$ el promedio se va a situar aproximadamente en el termino $\frac{k}{2}$. Como queremos que el promedio nos de 25,25; $k$ podría tomar alguno de los siguientes valores $k={48, 49, 50, 51, 52}$.
Probemos la formula con $k=50$
$37,75=\frac{-99.(50)+101}{4} + \frac{1}{2}(50)^2 // n \notin \mathbb{Z}^+$
$k=51$
$63,50=\frac{-99.(51)+101}{4} + \frac{1}{2}(51)^2 // n \notin \mathbb{Z}^+$
$k=49$
$13=\frac{-99.(49)+101}{4} + \frac{1}{2}(49)^2 // n \in \mathbb{Z}^+$
Notemos primero que $k$ no puede ser $1$, porque en ese caso al borrar un número nos quedamos sin números en el pizarrón, así que no podemos calcular el promedio. Entonces $k>1$, porque es un entero positivo. Aclarado esto, sigamos con la solución.
Sea $n$ el número que se borró. Entonces quedan $k-1$ números en el pizarrón, y la suma de los mismos es$$\frac{k(k+1)}{2}-n,$$con lo que su promedio es$$\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}=25,25=\frac{101}{4},$$que se reescribe como$$2k(k+1)-4n=101(k-1).$$Como $k(k+1)$ es par, resulta que $2k(k+1)$ es múltiplo de $4$, con lo que $2k(k+1)-4n$ es múltiplo de $4$. Mirando módulo $4$ resulta$$k-1\equiv 101(k-1)\equiv 0\pmod 4,$$de donde $k=4t+1$ para algún entero positivo $t$ (es positivo porque $k>1$). Reemplazando y dividiendo por $4$ resulta$$(4t+1)(2t+1)-n=101t,$$con lo que mirando módulo $t$ vemos que$$1-n\equiv (4t+1)(2t+1)-n\equiv 0\pmod t,$$de donde $n=at+1$ para algún entero no negativo $a$. Como además $n\leq k$, resulta $0\leq a\leq 4$. Reemplazando y dividiendo por $t$ (podemos porque no es $0$), resulta$$8t-a-95=0,$$de donde$$t=\frac{95+a}{8}$$y $a\equiv 1\pmod 8$ al ser $t$ entero. Como $0\leq a\leq 4$, resulta $a=1$. Entonces $t=12$, $n=13$ y, de yapa, $k=49$.
