Nacional OMA 2011 - Nivel 2 - Problema 1

[sebach]

En el pizarrón estaban escritos los números de [math]1 a [math]k ([math]k es un entero positivo desconocido). Se borró uno de los números. El promedio de los números que quedaron es [math]25,25 . ¿Qué número se borró?

[Vladislao]

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Tenemos que resolver en [math]\mathbb{N} la siguiente ecuación:

[math]\dfrac{k(k+1)}{2}-n=\dfrac{101(k-1)}{4}

Notemos que [math]k debe ser impar, y además [math]n \leq k, luego:

[math]\dfrac{k(k+1)}{2}-k\leq\dfrac{101(k-1)}{4}

De ésto, sale que [math]k \leq 50.

Como teníamos que [math]k era impar, entonces [math]\boxed{k\leq 49}.

Ahora bien, la ecuación original puede ser reescrita como:

[math]2k(k+1)-4n = 101k-101

O equivalentemente:

[math]k(99-2k)=101-4n

Es claro que el lado izquierdo es positivo, luego el lado derecho también lo es. En particular sigue que:

[math]k(99-2k) \leq 97

Esto es:

[math]\boxed{49 \leq k}.

Como tenemos que [math]49 \leq k \leq 49, sigue que [math]k=49, y finalmente [math]n=13.

[Ivan]

Otra solución:

Llamemos [math]n al número borrado. Como [math]1+2+\ldots +(k-1)+k=\frac{k(k+1)}{2}, tenemos que el promedio de los números que quedan es

[math]25,25=\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}

Dado que el promedio de los números es mayor a [math]25, alguno de los números debe ser mayor a [math]25. De esto se sigue que [math]k\geq 26.

Ahora tenemos [math]25,25=\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}\leq \frac{k(k+1)}{2(k-1)}, entonces [math]k+1\geq 2\cdot\frac{k-1}{k} \cdot25,25 y finalmente

[math]k\geq 2\cdot\frac{k-1}{k}\cdot 25,25-1

Además, como [math]k\geq 26 tenemos [math]\frac{k-1}{k}\geq \frac{25}{26}. De esto tenemos que [math]k\geq 2\cdot \frac{25}{26}\cdot 25,25-1>47. Entonces [math]k\geq 48.

Podemos aplicar el mismo argumento de antes usando [math]k\geq 48. Tenemos que [math]k\geq 2\cdot \frac{47}{48} \cdot 25,25-1>48. Entonces [math]k\geq 49.


Ahora [math]25,25=\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}\geq \frac{\frac{k(k+1)}{2}-k}{k-1}=\frac{k(k-1)}{2(k-1)}=\frac{k}{2} y entonces [math]k\leq 50,5. Entonces [math]k\leq 50.


Concluimos que [math]49\leq k\leq 50.

Despejando tenemos [math]n=\frac{k(k+1)}{2}-25,25(k-1). Si [math]k=50 entonces [math]n=37,75 que no es entero. Entonces [math]k=49 y tenemos [math]n=13.

Entonces el número borrado es [math]13.



Comentarios: La intuición detrás de esta solución es que (cuando [math]k es grande) borrar un número no altera mucho el promedio, ya que un número representa una parte pequeña de la suma y [math]k-1 es bastante parecido a [math]k. Entonces el valor de [math]n realmente no influye demasiado en el promedio de los restantes números.
Para hacer un argumento hay que cuantificar esta idea. Algo razonable es empezar notando que [math]k\geq 25.25 y tener así una primera idea de cuan grande tiene que ser [math]k. Luego se puede usar la idea para refinar la cota y obtener [math]k\geq 48 o [math]k\geq 49. Con la misma intuición encontramos la cota superior [math]k\leq 50.
Intuitivamente era esperable que las cotas fueran suficientemente buenas como para tener que probar muy pocos casos a mano.

También se puede descartar directamente el caso [math]k=50 (como en la solución de Vladislao) argumentando que [math]k-1 tiene que ser un número par.

[Coni]

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Si se elimina uno de los $k$ números, digamos $n$, y se calcula el promedio se obtiene: $\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}=\frac{k(k+1)-2n}{2(k-1)}=25,25$.
Resto y sumo $k$ en el numerador, agrupo convenientemente, distribuyo el denominador y simplifico las fracciones.
$\frac{k(k-1)}{2(k-1)}+\frac{2(k-n)}{2(k-1)}=\frac{k}{2}+\frac{k-n}{k-1}=25,25$.
$\frac{k}{2}=25,25-\frac{k-n}{k-1}$. Esta última fracción es un número menor o igual que $1$, porque $n$ es mayor o igual que $1$.
Si $k$ es impar, la fracción del miembro izquierdo en su representación decimal tiene una sola cifra decimal y vale $5$, entonces en el miembro derecho la fracción debe valer $0,75$. En este caso el segundo miembro vale $24,50$ y entonces debe ser $k=49$. Resolviendo la ecuación $\frac{49-n}{49-1}=0,75$, se obtiene $n=13$, que es la solución.
Si $k$ es par, la fracción del miembro izquierdo es natural. Para que esto suceda, debe pasar que la fracción del miembro derecho vale $0,25$. En este caso el miembro de la derecha vale $25$, y para que esto suceda, debe ser $k=50$. Si se resuelve la ecuación $\frac{50-n}{50-1}=0,25$, se llega a un valor de $n=37,75$, que no es solución por no ser entero.

[Lean]

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$\frac{\frac{k(k+1)}{2}-t}{k-1}=25,25$

$\frac{k(k+1)-2t}{2(k-1)}=25,25$.

$k(k+1)-2t=50,5k-50,5$

$k^2-49,5k+50,5-2t$.

$k_{1,2}=\frac{49,5 \pm \sqrt{(-49,5)^2-4(50,5-2t)}}{2}$.

Entonces, $2248,25+8t=x^2$, como $t \in \mathbb{N}$, $x$ termina en $0,5$.

$\sqrt{2248,25} \approx 47,5$. Probando con el $48,5$ obtenemos $t=13, k=49$. Que funciona.

[drynshock]

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La formula:

$\frac{\frac{k(k+1)}{2}-n}{k-1}=25,25$

Despejando $n$ llegamos a:

$n=\frac{-99k+101}{4} + \frac{1}{2}k^2$

Notemos que si sumamos los números $1, 2, 3, ..., k$ el promedio se va a situar aproximadamente en el termino $\frac{k}{2}$. Como queremos que el promedio nos de 25,25; $k$ podría tomar alguno de los siguientes valores $k={48, 49, 50, 51, 52}$.

Probemos la formula con $k=50$

$37,75=\frac{-99.(50)+101}{4} + \frac{1}{2}(50)^2 // n \notin \mathbb{Z}^+$


$k=51$

$63,50=\frac{-99.(51)+101}{4} + \frac{1}{2}(51)^2 // n \notin \mathbb{Z}^+$


$k=49$

$13=\frac{-99.(49)+101}{4} + \frac{1}{2}(49)^2 // n \in \mathbb{Z}^+$

Entonces $k=49 ; n=13$