Regional 2003 N3 P2

[JPablo]

Se considera la sucesión definida por $a_1=5$ y $a_{n+1}=a_n+3n$. Calcular $a_{100}$.

[JPablo]

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[math]a_{100}=a_{99}+3\cdot 99\\ \qquad \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ } =a_{98}+3\cdot 98+3\cdot 99\\ \qquad \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ } =a_{97}+3\cdot 97+3\cdot 98+3\cdot 99\\ \qquad \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ } =a_{96}+3\cdot 96+3\cdot 97+3\cdot 98+3\cdot 99\\ \qquad \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ } =a_{95}+3\cdot 95+3\cdot 96+3\cdot 97+3\cdot 98+3\cdot 99\\ \qquad \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ } =a_{94}+3\cdot 94+3\cdot 95+3\cdot 96+3\cdot 97+3\cdot 98+3\cdot 99\\ \qquad \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ } ...\\ \qquad \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ } =a_{1}+3\cdot 1+3\cdot 2+3\cdot 3+3\cdot 4+\cdot \cdot \cdot +3\cdot 99

[math]=5+\sum_{k=1}^{99}3k=5+3\frac{99\left ( 99+1 \right )}{2}=14855

[Nowhereman]

Algo copado

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Si [math]a_{i+1}=a_i+3i \Rightarrow a_{i+1}-a_i=3i\Rightarrow\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=\sum_{i=1}^{n-1}3i donde en la izquierda tenemos una suma telescópica, y nos queda que [math]a_n-a_1=3*\frac{(n-1)n}{2} donde para [math]n=100 con [math]a_1=5 tenemos que [math]a_{100}=3*\frac{99*100}{2}+5=14855

[Violeta]

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Probaré que [math]a_n = 5+\frac{3(n)(n-1)}{2} (1)

(1) vale para [math]n=2. Asumamos que vale para algún [math]n\geq2.

[math]a_n = 5+\frac{3(n)(n-1)}{2}

El enunciado nos dice que:

[math]a_{n+1} = 5+\frac{3(n)(n-1)}{2} + 3n

Esto simplifica a:

[math]a_{n+1}=5+\frac{3(n)(n+1)}{2}, QED.

Entonces, por (1), [math]a_{100} = 14855

[Lean]

Se considera la sucesión definida por $a_1=5$ y $a_{n+1}=a_n+3n$. Calcular $a_{100}$.

[Gregorio]

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$a_{100} = a_{99} + 3 \times 99 = a_{98} + 3 \times 98+ 3 \times 99 = ... = a_1 + 3 \times 1 + 3 \times 2 + ... + 3 \times 98 + 3 \times 99 $
$3 \times 99 + 3 \times 98 + 3 \times 97 + ... + 3 \times 1 = 3 \times (1+2+3+...+99)$
$1+2+3+...+99 = 99 \times 100 /2 = 4950$
$a_1 = 5$
$5+3 \times 4950 = 14855 = a_{100}$

[drynshock]

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Notemos que: $a_1 = 5 ; a_2 = 8 ; a_3 = 14$ por lo que la primer diferencia de la sucesión es $3$ y la segunda diferencia también es $3$.

Luego por las formulas para determinar una sucesión cuadrática, podemos decir que:
$2a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$
$3a + b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{2}$
$a + b + c = 5 \Rightarrow c = 5$

Por lo que la formula quedaría: $a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 5$

Demostración de que funciona:
$\frac{3}{2}(n+1)^2 - \frac{3}{2}(n+1) + 5 = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 5 + 3n$
$(n+1)^2 - (n+1) = n^2 + n$
$n^2 + n = n^2 + n$

$\blacksquare$


Luego, $a_{100} = \frac{3}{2}(100)^2 - \frac{3}{2}.100 + 5 \Rightarrow \boxed{a_{100} = 14855}$