CHINA NACIONAL 2023 P1

[Lean]

Definir las secuencias $a_n$ y $b_n$ donde, $a_n, b_n \in \mathbb{R}^+, \forall n \in \mathbb{Z}^+$ y que cumplen que

$a_{n+1}=a_n-\frac{1}{1+\sum_{i+1}^{n}\frac{1}{a_i}}$

$b_{n+1}=b_n+\frac{1}{1+\sum_{i+1}^{n}\frac{1}{b_i}}$

$(1)$ Si $a_{100}b_{100}=a_{101}b_{101}$, hallar el valor de $a_1-b_1$.

$(2)$ Si $a_{100}=b_{99}$, determinar si $a_{100}+b_{100}>a_{101}+b_{101}$.

[Lean]

Inciso 1)

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$a_2=a_1-\frac{1}{1+\frac{1}{a_1}}=a_1(\frac{a_1}{a_1+1})$. Por induccion nos resulta que $a_n=a_1(\frac{a_1}{a_1+1})^{n-1}$, una serie geometrica.

$b_2=b_1(\frac{b_1+2}{b_1+1}) \Rightarrow b_n=b_1(\frac{b_1+2}{b_1+1})(\frac{b_1+4}{b_1+3})(\frac{b_1+6}{b_1+5})...(\frac{b_1+2n-2}{b_1+2n-3})$ por induccion tambien.

Despues, $\frac{a_1+1}{a_1}=\frac{b_1+200}{b_1+199} \Rightarrow \frac{1}{a_1}=\frac{1}{b_1+199} \Rightarrow a_1-b_1=199$.

Inciso 2)

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$a_{101}+b_{101}-a_{100}-b_{100}=$ $\frac{1}{1+\sum^{100}_{i=1}\frac{1}{b_i}}-\frac{1}{1+\sum^{100}_{i=1}\frac{1}{a_i}}$.

Es decir, determinar cual es mayor entre $\sum^{100}_{i=1}\frac{1}{b_i}$ y $\sum^{100}_{i=1}\frac{1}{a_i}$

Es deducible que $a_1>a_2>a_3>...>a_{100}=b_{99}>b_{98}>...>b_1(1)$. Entonces, $\sum^{98}_{1}\frac{1}{b_i}>\sum^{98}_{i=1}\frac{1}{a_i}$.
Entonces, falta determinar si $b_{100}<a_{99}$ es verdadero, de donde se deduce que $\frac{1}{a_{99}}<\frac{1}{b_{100}}$

La parte linda es que como $a_{100}=b_{99}$, podemos decir $a_{99}+b_{99}-b_{100}-a_{100}=\frac{1}{1+\sum^{99}_{i=1}\frac{1}{a_i}}-\frac{1}{1+\sum^{99}_{i=1}\frac{1}{b_i}}$.
Y como $\sum^{99}_{i=1}\frac{1}{a_i}<\sum^{99}_{i=1}\frac{1}{b_i}$ por $(1)$, $b_{100}<a_{99}$.

Entonces, $a_{100}+b_{100}$ es mas grande.