Resolvamos primero $2^m-3^n=2017$. Módulo $3$ obtenemos $\left(-1\right)^m\equiv 1\pmod{3}$, por lo tanto $m$ es par. Escribamos $m=2k$ con $k\in\mathbb{N}$. No puede ser $k=1$ o de lo contrario $3^n=2^2-2017<0$, por lo tanto $m=2k\geq 4$. Mirando módulo $16$ obtenemos $3^n\equiv -1\pmod{16}$, y por lo tanto $9^n=3^{2n}\equiv \left(-1\right)^2=1\pmod{16}$. Como $\operatorname{ord}_{16}\left(9\right)=2$, se sigue que $2\mid n$. Escribimos $n=2\ell$ con $\ell\in\mathbb{N}$. La ecuación se reescribe ahora como $\left(2^k-3^\ell\right)\left(2^k+3^\ell\right)=2017$. Como $2017$ es primo y $2^k+3^\ell>0$, necesariamente debe ser $2^k-3^\ell=1$ y $2^k+3^\ell=2017$. Sumando ambas obtenemos $2^{k+1}=2018$, claramente imposible. Luego, no hay soluciones en este caso.
Analicemos ahora la ecuación $3^n-2^m=2017$. Módulo $3$ obtenemos $\left(-1\right)^m\equiv -1\pmod{3}$, por lo tanto $m$ es impar. Asimismo, no puede ser $n=1$ porque $3^1-2017<0$, por lo tanto módulo $9$ tenemos $-2^m\equiv 1\pmod{9}$. Como $m$ es impar, tenemos $7^m\equiv \left(-2\right)^m=-2^m\equiv 1\pmod{9}$, y como $\operatorname{ord}_9\left(7\right)=3$, necesariamente $3\mid m$. Junto con $m\equiv 1\pmod{2}$ esto implica (resolviendo el sistema lineal de congruencias) la relación $m\equiv 3\pmod{6}$. Por otro lado, como $3\mid m$ y $2^3\equiv 1\pmod{7}$, mirando módulo $7$ obtenemos $3^n-1\equiv 1\pmod{7}$. Pero $3$ es raíz primitiva módulo $7$ y $3^2\equiv 2\pmod{7}$, por lo tanto $n\equiv 2\pmod{6}$. Mirando módulo $5$, y usando que $m$ es impar, obtenemos $3^n+3^m\equiv 3^n+\left(-2\right)^m=3^n-2^m\equiv 2\pmod{5}$. Como $3$ es raíz primitiva módulo $5$, y $m$ es impar, $3^m$ solamente puede ser congruente con $3^1=3$ o con $3^3\equiv 2\pmod{5}$ módulo $5$. Pero $n$ es par (porque $n\equiv 2\pmod{6}$), por lo tanto solamente puede ser congruente con $3^0=1$ o con $3^2\equiv -1\pmod{5}$ módulo $5$. De estas cuatro posibilidades totales, solamente $3^n\equiv 3^2\pmod{5}$ y $3^m\equiv 3^1\pmod{5}$ cumplen que $3^n+3^m\equiv 2\pmod{5}$, por lo tanto $n\equiv 2\pmod{4}$ y $m\equiv 1\pmod{4}$. Pero ya sabíamos que $m\equiv 0\pmod{3}$ y que $n\equiv 0\pmod{3}$ (porque $n\equiv 2\pmod{6}$), por lo tanto podemos resolver ambos sistemas lineales de congruencia y obtener $m\equiv 9\pmod{12}$ y $n\equiv 6\pmod{12}$. Aplicando el Pequeño Teorema de Fermat obtenemos $3^6-2^9\equiv 2\pmod{13}$, lo cual es falso. Concluimos que tampoco hay soluciones en este caso.
