En una larga tira de papel se escriben los múltiplos de [math]21, comenzando con [math]21, sin espacios intermedios. Queda así una secuencia de dígitos que empieza así: [math]21426384105126147\ldots
Hallar la cifra que ocupa la posición [math]5000 de la secuencia de dígitos y determinar a qué múltiplo de [math]21 pertenece. (Por ejemplo, la cifra de la posición [math]15 es [math]1 y pertenece al [math]147.)
Hay [math]4 números múltiplos de [math]21 de dos cifras, por lo que representarían [math]8 dígitos. Si sumamos los [math]43 de tres cifras, irían [math]137 dígitos; más los [math]429 de [math]4, [math]1853. [math]5000 - 1853 = 3147 y [math]3147 : 5 = 629\frac{2}{5}. El dígito [math]5000 pertenecerá al número [math]630 de los de cinco cifras, lo que es igual al número [math]630 + 429 + 43 + 4 = 1106 del total. Tenemos que [math]21 \times 1106 = 23226, por lo que ese es el múltiplo al que pertenece el dígito [math]5000. Como la cuenta había dado[math]\frac{2}{5}, será el segundo dígito, esto es, el [math]3.
Por lo tanto, el dígito [math]5000 será [math]3 y pertenecerá al múltiplo [math]23226.
[math]\left\lfloor x \right\rfloor es la parte entera de [math]x, o sea [math]x redondeado para abajo.
Hay [math]\left\lfloor\frac{99}{21}\right\rfloor=4 múltiplos de [math]21 menores que [math]99. Entonces hay [math]4 múltiplos de [math]21 de dos dígitos. Estos ocupan los dígitos [math]1 a [math]8 de la secuencia.
Hay [math]\left\lfloor\frac{999}{21}\right\rfloor=47 múltiplos de [math]21 menores que [math]999. Entonces hay [math]47-4=43 múltiplos de [math]21 de tres dígitos. Estos ocupan los dígitos del [math]8+1 al [math]8+3 \cdot 43=137 de la secuencia.
Hay [math]\left\lfloor\frac{9999}{21}\right\rfloor=476 múltiplos de [math]21 menores que [math]9999. Entonces hay [math]476-47=429 múltiplos de [math]21 de cuatro dígitos. Estos ocupan los dígitos del [math]137+1 al [math]137+4\cdot 429=1853 de la secuencia.
Hay [math]\left\lfloor\frac{99999}{21}\right\rfloor=4761 múltiplos de [math]21 menores que [math]99999. Entonces hay [math]4761-476=4285 múltiplos de [math]21 de cinco dígitos. Estos ocupan los dígitos del [math]1853+1 al [math]1853+5\cdot 4285=23278 de la secuencia.
Entonces sabemos que el número que ocupa el dígito [math]5000 tiene [math]5 dígitos. Veamos donde empieza este número.
Sabemos que los múltiplos de [math]21 de hasta [math]4 dígitos ocupan los primeros [math]1853 dígitos de la secuencia. El primer múltiplo de [math]21 de [math]5 dígitos empezará en el dígito [math]1853+1 de la secuencia. El segundo múltiplo de [math]21 de [math]5 dígitos empezará en el dígito [math]1853+5+1, el tercero en el dígito [math]1853+5\cdot 2+1 y así sucesivamente, el [math]n-ésimo múltiplo de [math]21 de [math]5 dígitos empezará en el dígito [math]1853+5(n-1)+1.
Veamos en que número cae el dígito [math]5000 de la secuencia. Si el dígito [math]5000 está en el [math]n-ésimo múltiplo de [math]21 de [math]5 dígitos, entonces
[math]1853+5(n-1)+1\leq 5000 < 1853+5n+1
Tenemos [math]1853+5(n-1)+1\leq 5000 luego [math]1849+5n\leq 5000 y entonces [math]5n\leq 3151 y [math]n\leq 630,2. También [math]5000 < 1853+5n+1 y entonces [math]5000-1854<5n y [math]629,2<n luego [math]630\leq n. Entonces [math]n=630, así que el número que ocupa el dígito [math]5000 es el [math]630-ésimo múltiplo de [math]21 de [math]5 dígitos. Este número empieza en la posición [math]1853+5(630-1)+1=4999.
Sabemos que los múltiplos de [math]21 de hasta [math]4 dígitos son los primeros [math]476. Entonces el [math]630-ésimo múltiplo de [math]21 de [math]5 dígitos es [math]21(476+630)=23226.
Como ya vimos que [math]23226 empieza en la posición [math]4999, el dígito [math]5000 de la sucesión es [math]3.
Ivan escribió:
Sabemos que los múltiplos de [math]21 de hasta [math]4 dígitos son los primeros [math]476. Entonces el [math]630-ésimo múltiplo de [math]21 de [math]5 dígitos es [math]21(476+630)=23266.
Como ya vimos que [math]23266 empieza en la posición [math]4999, el dígito [math]5000 de la sucesión es [math]3.
Gracias por la revisión; sin embargo, si no me equivoco, [math]21(476+630)=23226 y no [math]23266.
Primero, la cantidad de números que hay entre dos números $x, y;\ x>y$ inclusive es $x-y+1$ (para que se cuenten también los extremos). Ahora, hay cuatro $M_{21}$ de dos cifras($21\times 1$ a $21\times 4$), en total 8 cifras ($2\times (4-1+1)$); hay $43$ $M_{21}$ de tres cifras ($21\times 5$ a $21\times 47$), en total $129$ cifras ($3\times (47-5+1)$); y hay $429$ $M_{21}$ de cuatro cifras ($21\times48$ a $21\times476$), en total $1716$ cifras ($4\times (476-48+1)$). A partir de acá si calculamos el total de números de $5$ cifras se nos pasa de los $5000$, entonces habría que encontrar qué número nos sirve como extremo para calcular cuántos números de $5$ cifras sumado a los de antes nos da $5000$ o cercano, entonces podemos plantear lo siguiente, siendo $x$ el extremo buscado:
$$8+129+1716+5\times (x-477+1)=5000$$
$$5x-2380=3147$$
$$x=1105,4$$
Entonces hasta el $1105$ hay $3145$ cifras ($5\times (1105-477+1)$). La suma de cifras hasta ahora es $8+129+1716+3145=4998$, entonces $21\times 1106=23226$ por lo tanto la cifra $4999$ es el $2$, y finalmente la $5000$ es el $3$, que pertenece al $23226$.
