P2 N1 Regional 2009

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Olímpico

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P2 N1 Regional 2009

Mensaje sin leer por Olímpico »

En una larga tira de papel se escriben los múltiplos de [math], comenzando con [math], sin espacios intermedios. Queda así una secuencia de dígitos que empieza así:
[math]
Hallar la cifra que ocupa la posición [math] de la secuencia de dígitos y determinar a qué múltiplo de [math] pertenece. (Por ejemplo, la cifra de la posición [math] es [math] y pertenece al [math].)
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Olímpico

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Re: P2 N1 Regional 2009

Mensaje sin leer por Olímpico »

Agradecería si alguien lo pudiera revisar y decierme si esto es correcto:
Spoiler: mostrar
Hay [math] números múltiplos de [math] de dos cifras, por lo que representarían [math] dígitos. Si sumamos los [math] de tres cifras, irían [math] dígitos; más los [math] de [math], [math].
[math] y [math]. El dígito [math] pertenecerá al número [math] de los de cinco cifras, lo que es igual al número [math] del total. Tenemos que [math], por lo que ese es el múltiplo al que pertenece el dígito [math]. Como la cuenta había dado[math], será el segundo dígito, esto es, el [math].
Por lo tanto, el dígito [math] será [math] y pertenecerá al múltiplo [math].
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Ivan

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Re: P2 N1 Regional 2009

Mensaje sin leer por Ivan »

Spoiler: mostrar
[math] es la parte entera de [math], o sea [math] redondeado para abajo.

Hay [math] múltiplos de [math] menores que [math]. Entonces hay [math] múltiplos de [math] de dos dígitos. Estos ocupan los dígitos [math] a [math] de la secuencia.

Hay [math] múltiplos de [math] menores que [math]. Entonces hay [math] múltiplos de [math] de tres dígitos. Estos ocupan los dígitos del [math] al [math] de la secuencia.

Hay [math] múltiplos de [math] menores que [math]. Entonces hay [math] múltiplos de [math] de cuatro dígitos. Estos ocupan los dígitos del [math] al [math] de la secuencia.

Hay [math] múltiplos de [math] menores que [math]. Entonces hay [math] múltiplos de [math] de cinco dígitos. Estos ocupan los dígitos del [math] al [math] de la secuencia.

Entonces sabemos que el número que ocupa el dígito [math] tiene [math] dígitos. Veamos donde empieza este número.

Sabemos que los múltiplos de [math] de hasta [math] dígitos ocupan los primeros [math] dígitos de la secuencia. El primer múltiplo de [math] de [math] dígitos empezará en el dígito [math] de la secuencia. El segundo múltiplo de [math] de [math] dígitos empezará en el dígito [math], el tercero en el dígito [math] y así sucesivamente, el [math]ésimo múltiplo de [math] de [math] dígitos empezará en el dígito [math].

Veamos en que número cae el dígito [math] de la secuencia. Si el dígito [math] está en el [math]ésimo múltiplo de [math] de [math] dígitos, entonces
[math]
Tenemos [math] luego [math] y entonces [math] y [math]. También [math] y entonces [math] y [math] luego [math]. Entonces [math], así que el número que ocupa el dígito [math] es el [math]ésimo múltiplo de [math] de [math] dígitos. Este número empieza en la posición [math].

Sabemos que los múltiplos de [math] de hasta [math] dígitos son los primeros [math]. Entonces el [math]ésimo múltiplo de [math] de [math] dígitos es [math].

Como ya vimos que [math] empieza en la posición [math], el dígito [math] de la sucesión es [math].
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Ivan

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Re: P2 N1 Regional 2009

Mensaje sin leer por Ivan »

Llegó tarde la respuesta, la idea está bien :P
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Olímpico

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Re: P2 N1 Regional 2009

Mensaje sin leer por Olímpico »

Ivan escribió: Sabemos que los múltiplos de [math] de hasta [math] dígitos son los primeros [math]. Entonces el [math]ésimo múltiplo de [math] de [math] dígitos es [math].
Como ya vimos que [math] empieza en la posición [math], el dígito [math] de la sucesión es [math].
Gracias por la revisión; sin embargo, si no me equivoco, [math] y no [math].
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Ivan

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Re: P2 N1 Regional 2009

Mensaje sin leer por Ivan »

Si, error de tipeo :P
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marcoalonzo

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Re: P2 N1 Regional 2009

Mensaje sin leer por marcoalonzo »

Corregir si hay algún error :lol:
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Primero, la cantidad de números que hay entre dos números $x, y;\ x>y$ inclusive es $x-y+1$ (para que se cuenten también los extremos). Ahora, hay cuatro $M_{21}$ de dos cifras($21\times 1$ a $21\times 4$), en total 8 cifras ($2\times (4-1+1)$); hay $43$ $M_{21}$ de tres cifras ($21\times 5$ a $21\times 47$), en total $129$ cifras ($3\times (47-5+1)$); y hay $429$ $M_{21}$ de cuatro cifras ($21\times48$ a $21\times476$), en total $1716$ cifras ($4\times (476-48+1)$). A partir de acá si calculamos el total de números de $5$ cifras se nos pasa de los $5000$, entonces habría que encontrar qué número nos sirve como extremo para calcular cuántos números de $5$ cifras sumado a los de antes nos da $5000$ o cercano, entonces podemos plantear lo siguiente, siendo $x$ el extremo buscado:
$$8+129+1716+5\times (x-477+1)=5000$$
$$5x-2380=3147$$
$$x=1105,4$$
Entonces hasta el $1105$ hay $3145$ cifras ($5\times (1105-477+1)$). La suma de cifras hasta ahora es $8+129+1716+3145=4998$, entonces $21\times 1106=23226$ por lo tanto la cifra $4999$ es el $2$, y finalmente la $5000$ es el $3$, que pertenece al $23226$.
🔮oráculo y magia negra🔮
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