Uno lindo

[tuvie]

Determinar si existe o no un polinomio [math]P de coeficientes enteros tal que para todo [math]n entero positivo se cumple [math]P(n)=n!.

[Vladislao]

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Si es de coeficientes enteros entonces se verifica siempre que [math]a-b\mid P(a)-P(b). Luego, poniendo [math]a=5, [math]b=2, resulta que debe ser [math]3\mid 5!-2! o sea, [math]3\mid 118. Absurdo.

[Ivan]

Otra forma de resolverlo (esencialmente distinta)

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Supongamos que [math]P tiene grado [math]k. Escribamos [math]P=a_k x^k +\ldots + a_1 x+ a_0 y [math]n es natural, tenemos

[math]\begin{align*}n!&=|P(n)|\\ &=|a_k n^k +\ldots + a_1 n+ a_0|\\ &\leq |a_k| n^k +\ldots + |a_1| n+ |a_0| \\ &\leq |a_k| n^k +\ldots + |a_1| n^k+ |a_0|n^k\\ & = (|a_k|+\ldots+|a_1|+|a_0|)n^k\end{align*}

Ahora si [math]n>|a_k|+\ldots+|a_1|+|a_0| tenemos [math]n!<n^{k+1}.
Pero tomando [math]n grande es fácil ver que esto no puede valer, por ejemplo tomando [math]n>2(k+1).

[Emerson Soriano]

Incluso se puede demostrar algo más general. Se puede demostrar que no existe ningún polinomio $P(X)$ con coeficientes reales tal que $P(n)=n!$ para todo entero positivo $n$.
Aquí está la demostración:

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Supongamos por el absurdo que existe tal polinomio $P(X)$.
Notemos que el polinomio $H(X)=P(X+1)-(X+1)P(X)$ tiene como raíces a todos los enteros positivos $n$. Por lo tanto, los polinomios $P(X+1)$ y $(X+1)P(X)$ son idénticos, pero estos dos polinomios no tienen el mismo grado, lo cual es absurdo. Por lo tanto, no existe tal polinomio $P(X)$.