P4 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011

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bruno
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P4 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011

Mensaje sin leer por bruno »

En un camino infinito en ambas direcciones, el correcaminos sale a velocidad constante. Al rato sale el coyote a perseguirlo, a velocidad constante. La velocidad del correcaminos es igual al $90\%$ de la velocidad del coyote. El coyote no sabe a que hora salio el correcaminos y tampoco sabe en que direccion salio. Demostrar que de todos modos el coyote puede alcanzar al correcaminos.
R22
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Re: P4 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011

Mensaje sin leer por R22 »

Para modelar el problema, podemos considerar una recta (camino infinito hacia ambas direcciones). El correcaminos sale a velocidad constante [math] hacia alguna de las dos direcciones. Luego de un tiempo, sale el coyote con una velocidad tal que [math].

En el tiempo transcurrido hasta la partida del coyote, el correcaminos, se habrá alejado del origen, una distancia [math]. Por lo cual se encontrará (dependiendo el sentido) sobre el punto [math] o el [math] de nuestra recta numérica.

El coyote cuenta con la ventaja de poseer una velocidad mayor, pero al no conocer el sentido del andar del correcaminos, no puede “tirarse” a correr exclusivamente en un sentido. Además, por más que recorra un tiempo tan largo como quiera hacia cualquiera de los dos sentidos, nunca podrá decir que el correcaminos haya partido hacia el sentido opuesto (ya que no se conoce el tiempo transcurrido entre las partidas de nuestros dos personajes).

¿Pero... para algún lado tendrá que correr? ¿no? Bueno, pués como no sabe para que sentido partió su presa, osea, no sabe si el correcaminos se encuentra en [math] o en [math], podría imaginarse que existen dos correcaminos, uno en [math] y otro en [math], ambos con velocidades del [math] de la suya y ambos alejándose del origen; ¡y que tiene que atraparlos a ambos!.




(De aquí en adelante se harán mención a las variable [math] todos reales positivos)

Es evidente entonces que la única estrategia razonable del coyote, es (sin perdida de generalidad se aceptará en este ejemplo que empieza corriendo hacia la derecha):
-corer hasta [math],
-volver sobre sus pasos hasta [math] nuevamente, luego correr hasta [math],
-luego volver nuevamente sobre sus pasos hasta [math], correr hasta [math],
...
y así sucesivamente.

Siempre con la esperanza de acercarse cada vez más al hipotético correcaminos que le corresponde al sentido en el cual corre.
Osea que la distancia entre [math] y el correcaminos que partió hacia la derecha sea mayor que la distancia entre [math] y el correcaminos que partió hacia la izquierda; la cual, a su vez, sea menor que la distancia entre [math] y el correcaminos que partió hacia la derecha (en los respectivos instantes cuándo llegue a [math] [math] [math]), y así sucesivamente.





Es evidente que mientras haga todo ésto, ambos correcaminos seguirán alejándose. Y como ambos poseen velocidades constantes y [math]. A igual período temporal [math]. (Nota: se denota [math] la distancia recorrida por el correcaminos y [math] la recorrida por el coyote).

Por lo cual, mientras el coyote se desplaza a la posición [math] los hipotéticos correcaminos se desplazarán de [math] y [math] hacia [math] y [math] respectivamente. La distancia, en éste punto, entre el coyote ([math]) y el correcaminos que le corresponde perseguir en éste momento (el que está del lado positivo) será:
[math] (se ha acercado [math] al correcaminos positivo).

Luego el coyote volverá sobre sus pasos una distancia [math] y se encaminará hacia [math]. El correcaminos que se encontraba en [math] se desplazará [math] unidades más hacia la izquierda, osea que llegará a la posición [math]. La distancia, ahora, entre el coyote ([math]) y el correcaminos que le corresponde (el del que está del lado negativo) será:
[math]
[math]




Se puede hacer una simplificación y, como solo nos importa la distancia entre el coyote y el respectivo correcaminos que persigue en ése instante, pensar sólo la semirrecta positiva y pensar al movimiento del coyote como si fuese de [math] a [math], de [math] a [math], de [math] a [math], de [math] a [math], de [math] a [math] y así sucesivamente e ir considerando las distancias de [math], [math], [math]... a [math], [math], [math] siendo [math] lo que haya avanzado el correcaminos para cuando el coyote esté en [math].
Podemos hacer una tabla con los avances sucesivos del coyote y el correcamino:
[math]----------[math]
[math]---------[math]
[math]---------[math]

[math]---------[math]

Ahora podesmos completar cada [math] en función de lo recorrido por el coyote. Pues como ya dijimos, la distancia recorrida por el correcaminos será un [math] de la recorrida por el coyote.
Sabemos que cuando el coyote está en [math], cada una de las distancias [math], [math], [math]... las ha recorrido exactamente dos veces (ida y vuelta hasta el [math]). Y la distancia [math] la ha recorrido una vez (del [math] a dicha posición).
Así la distancia recorrida por el coyote en la posición [math] es:
[math]
Por ende la distancia recorrida por el correcaminos cuando el coyote está en xk (por primera vez) será:
[math]
[math]

Así, podemos completar nuestro cuadro:
[math]------------ [math]
[math]-----------[math]
[math]-----------[math]

[math]-----------[math]

La distancia entre el coyote y el correcaminos comienza siendo a ([math]). Ahora, en cada posición del coyote [math], la distancia será:

[math]
[math]

Observemos que ésta distancia siempre tiene la forma:
[math]
Donde dicho “algo” está en función de la lista [math]
Nosotros queremos que esta distancia disminuya. Pero no sólo ésto, queremos poder asegurar que dicho “algo” pueda ser tan grande como se quiera. Ya que “a” puede ser tan grande como se quiera. Por ejemplo, si tuviesemos que las distancias tienen esta forma:
[math]
[math]
[math]
...
[math]
En éste caso el “algo” alcanzará cualquier valor inferior a [math] y por ende para valores mayores o iguales a [math] de [math] el coyote nunca se acercará lo suficiente al coyote como para atraparlo.

En cambio si las distancias tienen la forma (por dar un ejemplo) de :
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Se podrá asegurar que sea [math] tan grande como se quiera, el coyote se acercará hasta encontrarlo en algún momento.

La expresión de la distancia cuando el coyote está en xk es (como ya se dijo anteriormente):
[math]

Entonces la diferencia de las distancias cuando el coyote está en xk y cuando estuvo en xk-1 es:


[math]



[math]

[math]

[math]

Ahora, podemos proponer que esta diferencia es de [math] para que nuestra serie de diferencia ses igual a la vista anterioremente donde estabamos seguros que el coyote alcanzaba al correcaminos.

[math]
[math]
[math]

Así, podemos completar nuestro cuadro, ahora con los xi calculados:

coyote/correcamino/diferencia
[math]---------[math]------------------------[math]
[math]----------[math]----------------[math]
[math]--------[math]-------------[math]
[math]-------[math]------------[math]

Así que puede correr, pero no esconderse (?)
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Lean

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Re: P4 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011

Mensaje sin leer por Lean »

bruno escribió: Lun 02 May, 2011 10:50 pm "En un camino infinito en ambas direcciones"
Si pensamos este camino como una circunferencia Γ, entonces podriamos considerarlo infinito en ambas direcciones. Es decir, el correcaminos dara vueltas alrededor de este camino circular. Sin importar la hora a la que sale el correcaminos, la distancia entre el coyote y este es limitada por Γ. Luego, no importaria la direccion a la que salga el coyote, siempre lograria alcanzar el correcaminos tras un tiempo determinado, teniendo en cuenta que este es mas rapido.
"El mejor número es el 73".
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