Regional 2015 N1 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1114
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Regional 2015 N1 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sean $A,B,C,D,E$ y $F$ seis vértices consecutivos de un polígono regular de $20$ lados todos de longitud $1$.
Sean $BCPQ$ un cuadrado de lado $1$ y $DERST$ un pentágono regular de lado $1$, con $P,Q,R,S,T$ en el interior del polígono de $20$ lados.
Determinar si $T$ pertenece a la recta que pasa por $D$ y $P$.

Aclaración: Los lados del cuadrado son $BC,CP,PQ$ y $QB$ y los lados del pentágono son $DE,ER,RS,ST$ y $TD$.
1  
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Anna
Mensajes: 8
Registrado: Lun 28 Sep, 2015 5:43 pm
Nivel: 2
Ubicación: Azul, Buenos Aires
Contactar:

Re: Regional 2015 N1 P3

Mensaje sin leer por Anna »

Tenes las soluciones????? Gracias!!
jujumas

OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 FOFO 6 años - Medalla Especial-FOFO 6 años OFO - Oro perfecto-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Medalla-FOFO Pascua 2017
FOFO 7 años - Medalla Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019
FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años OFO - Jurado-OFO 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 402
Registrado: Dom 26 Oct, 2014 8:30 pm
Medallas: 13
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2015 N1 P3

Mensaje sin leer por jujumas »

Mi solución:
Spoiler: mostrar
Una forma rápida y efectiva de ver si [math] está en la recta que pasa por [math] y [math] o no, es ver si [math]. Lo que vamos a hacer entonces es calcular estos dos ángulos por separado y ver si los valores coinciden o no. Para esto usaremos que los ángulos interiores es un cuadrado, un pentágono regular y un polígono regular de [math] lados miden [math], [math] y [math] respectivamente (no hace falta que explique la formulita porque ya la saben).

Como [math], y sabemos que [math] y que [math], nos queda que [math]

Para sacar [math], podemos ver primero que [math]. Luego, como el problema nos dice que [math], tenemos que el triángulo [math] es isósceles y que [math]

Ahora que sabemos que [math], podemos concluir que [math] efectivamente está en la recta que pasa por [math] y [math].
2  
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1114
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2015 N1 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Subo la figura así se entienden bien las soluciones que posteen.
reg15_p3n1.png
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1114
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2015 N1 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Los puntos [math] y [math] vendrían a ser como los "extras" en las películas...
5  
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Avatar de Usuario
marcoalonzo

FOFO 13 años - Mención-FOFO 13 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2024
Mensajes: 126
Registrado: Mar 18 Abr, 2023 4:52 pm
Medallas: 2

Re: Regional 2015 N1 P3

Mensaje sin leer por marcoalonzo »

Corregir si hay algún error :lol:
Spoiler: mostrar
Primero que todo calculemos cuánto mide cada ángulo del icoságono (polígono de $20$ lados) y del pentágono (polígono de $5$ lados); por el lado del icoságono la suma de sus ángulos interiores es $180^\circ \times (20-2)=3240^\circ$, entonces como es un polígono regular cada ángulo interior medirá $\frac{3240^\circ}{20}=162^\circ$ (recordar que en un polígono de $n$ lados hay $n$ vértices), y por el lado del pentágono usando la misma lógica da que cada ángulo interior mide $108^\circ$. Sabiendo esto, llegamos a que el ángulo $\hat{PCD}=72^\circ$ ($162^\circ -90^\circ$) y que el ángulo $\hat{CDT}=54^\circ$ ($162^\circ -108^\circ$). Notemos que, el triángulo $\overset{\bigtriangleup}{CPD}$ es isósceles, porque tiene dos lados congruentes, el del cuadrado y el del pentágono, (ya que ambos miden $1$, por dato) y como en todo triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes en teoría se debería cumplir que $\hat{CDT}=54^\circ =\hat{CPD}$. Entonces para verificar esto, como conocemos dos ángulos de ese triángulo, por diferencia de ángulos internos de un triángulo podemos saber cuánto vale $\hat{CPD}$, que es $54^\circ$, que es lo que planteamos anteriormente, por lo tanto que $T$ esté alineado con $P$ y $D$ cumple con todo lo planteado y estamos.
🔮oráculo y magia negra🔮
Responder