Problema 1 EGMO 2013

[Matías V5]

Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ un punto en la prolongación del lado $BC$ tal que $CD=BC$, y sea $E$ un punto en la prolongación del lado $CA$ tal que $AE=2CA$. Demostrar que si $AD=BE$, entonces el triángulo $ABC$ es rectángulo.

[Alejo]

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Sea F el punto tal que C es el punto medio de AF. En el cuadrilátero ABFD, las diagonales se cortan por los puntos medios, ya que AC=CF y BC=CD, luego ABFD es un paralelogramo. Entonces AD=BF. Por enunciado AD=BE, entonces BE=BF. AF=2AC, entonces AF=AE. Tanto A como B están en la mediatriz de EF, luego la recta AB es la mediatriz de EF, luego [math]AB \perp EF, entonces Bac=90°.

[Gianni De Rico]

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Tenemos que $EC$ es mediana en $BDE$ y que $EA=2AC$, así que $A$ es el baricentro de $BDE$, con lo que $DA$ corta a $BE$ en su punto medio $F$ y vale $BE=DA=2AF$, así que ganamos por el Lema de la Vida.