Problema 1 EGMO 2013

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1126
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Problema 1 EGMO 2013

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ un punto en la prolongación del lado $BC$ tal que $CD=BC$, y sea $E$ un punto en la prolongación del lado $CA$ tal que $AE=2CA$. Demostrar que si $AD=BE$, entonces el triángulo $ABC$ es rectángulo.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Alejo

OFO - Medalla de Plata-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017
Mensajes: 76
Registrado: Dom 01 Abr, 2012 4:14 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico

Re: Problema 1 EGMO 2013

Mensaje sin leer por Alejo »

Spoiler: mostrar
Sea F el punto tal que C es el punto medio de AF. En el cuadrilátero ABFD, las diagonales se cortan por los puntos medios, ya que AC=CF y BC=CD, luego ABFD es un paralelogramo. Entonces AD=BF. Por enunciado AD=BE, entonces BE=BF. AF=2AC, entonces AF=AE. Tanto A como B están en la mediatriz de EF, luego la recta AB es la mediatriz de EF, luego [math], entonces Bac=90°.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024 FOFO Pascua 2024 - Jurado-FOFO Pascua 2024
Mensajes: 2271
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 19
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Problema 1 EGMO 2013

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Tenemos que $EC$ es mediana en $BDE$ y que $EA=2AC$, así que $A$ es el baricentro de $BDE$, con lo que $DA$ corta a $BE$ en su punto medio $F$ y vale $BE=DA=2AF$, así que ganamos por el Lema de la Vida.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder