Primer Pretorneo 2016 NM P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
LuchoLP

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Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por LuchoLP »

Sea $p$ un número primo. Determinar la cantidad de enteros positivos $n$ tales que $pn$ es un múltiplo de $p+n$.

4 PUNTOS
Heibor

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por Heibor »

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Primero lo representamos como una ecuación:
[math]
Si [math] entonces:
[math]
[math], en donde [math] o [math] es mayor a [math] por lo cual la afirmación es falsa es decir:
[math]
Proseguimos con:
[math]
[math]
[math]
Como [math] es un numero entero positivo y [math] tambien lo es entonces [math] debe ser un entero positivo por lo cual o [math] o [math]
Para que [math], debe ser mayor o igual a [math], cosa que refutamos anteriormente, o debe ser [math] pero entonces [math] o [math] deben ser [math] lo cual no tiene sentido.
Entonces tenemos que [math], por lo cual podemos representarlo como [math], es decir [math] por algo.
Entonces nos queda que:
[math]
[math]
[math]
[math]
Como [math] es entero positivo, concluimos que [math]
Luego tenemos que:
[math]
[math]
De donde [math] y [math] son enteros positivos, y [math] es primo por lo cual [math] es falso, entonce [math].
Si [math] y [math] y ambos son enteros positivos, entonces [math]
Por ultimo nos queda que:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Luego como [math]
[math]
[math]
Es decir hay un solo [math] para cada [math].
Última edición por Heibor el Mar 26 Abr, 2016 11:36 pm, editado 1 vez en total.
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Emerson Soriano

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

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Sea [math] un entero positivo tal que [math], entonces [math]. Pero, como [math], entonces [math], y por ende [math] es el único valor que cumple.
Última edición por Emerson Soriano el Sab 01 Abr, 2017 11:24 pm, editado 1 vez en total.
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LuchoLP

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por LuchoLP »

Emerson Soriano escribió:
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Sea [math] un entero positivo tal que [math]
Es [math] en lugar de [math] en el lado izquierdo, no?
LuchoLP

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por LuchoLP »

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[math][math] [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math]. Los divisores de [math] son [math], [math] y [math]. Como [math] es mayor que los dos primeros, debe ser [math], de donde [math]. Concluímos que hay un único [math] para cada [math] y listo.
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Tomás Morcos Porras

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras »

Hoy me quejé de que no me salen los problemas de Pretorneos, así que subo mi solución de un problema de Pretorneo. Mi segundo nombre es coherencia. 8-)
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Si $p+n|pn$, como $p+n|p(p+n)=p^2+pn$, se da que $p+n|-p^2$ y $p+n|p^2$.
Luego, sea $k$ un entero tal que $k(p+n)=p^2\implies p+n=\frac{p^2}{k}$. Como $p+n$ es entero, $\frac{p^2}{k}$ también lo es, y $k$ divide a $p^2$. Los divisores de $p^2$ son $1$, $p$ y $p^2$.
Caso 1: $k=1$.
$p+n=p^2\implies n=p^2-p$ arroja una única solución por cada valor de $p$.
Caso 2: $k=p$.
$pn+p^2=p^2\implies pn=0$, absurdo.
Caso 3: $k=p^2$
$p^2n+p^3=p^2\implies n+p=1$, absurdo.
Si $p+n|pn$, entonces $p+n|p^2$, y esto implica que $n=p^2-p$, por lo que la condición del enunciado necesita $n=p^2-p$.
Veamos por último que $n=p^2-p$ siempre funciona: $p+p^2-p|p(p^2-p)\implies p^2|p^2(p-1)$
Así, queda que hay un único valor de $n$ que satisface para cada $p$.
¿Mis intereses? Las várices de Winston Churchill.
pablisrmr
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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por pablisrmr »

Dada la ecuación pn = (p+n)x, sabemos que x <= p ya que sino no se cumpliria.
Sabiendo esto empece a probar con casos pequeños y siempre llegaba a que x me daba p-1 en cada caso y quise probar eso.

Desarrollando la igualdad con la que comenzamos:
pn = (p+n)x
pn/x = p+n
p/x = (p+n)/n
p/x = (p/n) +1
p/x - p/n = 1
np - xp = nx
np - nx = xp
n(p-x) = xp
n = xp/(p-x)


Si queremos que n sea entero, simplemente tenemos que asignarle a x el valor de p-1 para que el denominador de la ecuacion siempre sea 1. De esta manera llegamos a la conclusión de que hay tantos numeros n como primos
sebach

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por sebach »

pablisrmr escribió: Sab 27 May, 2023 3:20 am Dada la ecuación pn = (p+n)x, sabemos que x <= p ya que sino no se cumpliria.
Sabiendo esto empece a probar con casos pequeños y siempre llegaba a que x me daba p-1 en cada caso y quise probar eso.

Desarrollando la igualdad con la que comenzamos:
pn = (p+n)x
pn/x = p+n
p/x = (p+n)/n
p/x = (p/n) +1
p/x - p/n = 1
np - xp = nx
np - nx = xp
n(p-x) = xp
n = xp/(p-x)


Si queremos que n sea entero, simplemente tenemos que asignarle a x el valor de p-1 para que el denominador de la ecuacion siempre sea 1. De esta manera llegamos a la conclusión de que hay tantos numeros n como primos
Fijate que el enunciado dice "dado $p$". Esto quiere decir que estamos asumiendo que tenemos un $p$ fijo, que puede ser cualquier primo. Entonces la respuesta tendría que ser por cada $p$. Podría ser ponele que la respuesta sea "para los primos mayores a $7$ no hay solución, y para los otros hay $2$ posibilidades", o "si $p=2$, las soluciones son ...., y para los demás primos, ....".
Espero que se entienda lo que quiero decir, si no las soluciones de arriba te pueden dar una pauta.
Menciono esto por tu respuesta de "hay tantos $n$ como números primos". O sea, ponele que para $p=2$ la respuesta sea "hay infinitos $n$", y vos ves este caso y decís "ah listo, hay infinitos, no importan los otros posibles $p$", eso no resolvería el problema, porque la respuesta debe ser para cada $p$ por separado.

Tu desarrollo está bueno, y si bien es verdad que eligiendo $x = p-1$ se cumple que $n=p(p-1)$ es entero y encontrás una solución, habría que ver si existen otros valores de $x$ digamos que hacen que esa expresión tuya última sea entero.
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joaquinflores
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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por joaquinflores »

hola tengo una hipotesis sobre el orden de los numeros primos alguien me puede ayudar?
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Lean

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por Lean »

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$p+n|pn \Rightarrow p+n|pn-n(p+n) \Rightarrow p+n|-n^2 \Rightarrow p+n|n^2$

Sea $k$ tal que $(p+n)k=n^2$, entonces, $k<n \Rightarrow n\nmid k$.

$n=\frac{(p+n)k}{n}$, como $n\nmid k$, hay un primo $q\neq 1$ que cumple:

$q|(p+n)$ y $q|n \Rightarrow q|p, q=p, \Rightarrow p|n$

Si $n=tp \Rightarrow p(t+1)|p^2t \Rightarrow (t+1)|pt \Rightarrow (t+1)|p \Rightarrow t=p-1$.

Luego, $n=p(p-1)$.
Última edición por Lean el Mié 21 Jun, 2023 9:49 pm, editado 1 vez en total.
"El mejor número es el 73".
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