Primer Pretorneo 2016 NM P1
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Sea $p$ un número primo. Determinar la cantidad de enteros positivos $n$ tales que $pn$ es un múltiplo de $p+n$.
4 PUNTOS
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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1
Última edición por Heibor el Mar 26 Abr, 2016 11:36 pm, editado 1 vez en total.
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Emerson Soriano
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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1
Última edición por Emerson Soriano el Sab 01 Abr, 2017 11:24 pm, editado 1 vez en total.
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Tomás Morcos Porras
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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1
Hoy me quejé de que no me salen los problemas de Pretorneos, así que subo mi solución de un problema de Pretorneo. Mi segundo nombre es coherencia.
¿Mis intereses? Las várices de Winston Churchill.
Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1
Dada la ecuación pn = (p+n)x, sabemos que x <= p ya que sino no se cumpliria.
Sabiendo esto empece a probar con casos pequeños y siempre llegaba a que x me daba p-1 en cada caso y quise probar eso.
Desarrollando la igualdad con la que comenzamos:
pn = (p+n)x
pn/x = p+n
p/x = (p+n)/n
p/x = (p/n) +1
p/x - p/n = 1
np - xp = nx
np - nx = xp
n(p-x) = xp
n = xp/(p-x)
Si queremos que n sea entero, simplemente tenemos que asignarle a x el valor de p-1 para que el denominador de la ecuacion siempre sea 1. De esta manera llegamos a la conclusión de que hay tantos numeros n como primos
Sabiendo esto empece a probar con casos pequeños y siempre llegaba a que x me daba p-1 en cada caso y quise probar eso.
Desarrollando la igualdad con la que comenzamos:
pn = (p+n)x
pn/x = p+n
p/x = (p+n)/n
p/x = (p/n) +1
p/x - p/n = 1
np - xp = nx
np - nx = xp
n(p-x) = xp
n = xp/(p-x)
Si queremos que n sea entero, simplemente tenemos que asignarle a x el valor de p-1 para que el denominador de la ecuacion siempre sea 1. De esta manera llegamos a la conclusión de que hay tantos numeros n como primos
Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1
Fijate que el enunciado dice "dado $p$". Esto quiere decir que estamos asumiendo que tenemos un $p$ fijo, que puede ser cualquier primo. Entonces la respuesta tendría que ser por cada $p$. Podría ser ponele que la respuesta sea "para los primos mayores a $7$ no hay solución, y para los otros hay $2$ posibilidades", o "si $p=2$, las soluciones son ...., y para los demás primos, ....".pablisrmr escribió: ↑Sab 27 May, 2023 3:20 am Dada la ecuación pn = (p+n)x, sabemos que x <= p ya que sino no se cumpliria.
Sabiendo esto empece a probar con casos pequeños y siempre llegaba a que x me daba p-1 en cada caso y quise probar eso.
Desarrollando la igualdad con la que comenzamos:
pn = (p+n)x
pn/x = p+n
p/x = (p+n)/n
p/x = (p/n) +1
p/x - p/n = 1
np - xp = nx
np - nx = xp
n(p-x) = xp
n = xp/(p-x)
Si queremos que n sea entero, simplemente tenemos que asignarle a x el valor de p-1 para que el denominador de la ecuacion siempre sea 1. De esta manera llegamos a la conclusión de que hay tantos numeros n como primos
Espero que se entienda lo que quiero decir, si no las soluciones de arriba te pueden dar una pauta.
Menciono esto por tu respuesta de "hay tantos $n$ como números primos". O sea, ponele que para $p=2$ la respuesta sea "hay infinitos $n$", y vos ves este caso y decís "ah listo, hay infinitos, no importan los otros posibles $p$", eso no resolvería el problema, porque la respuesta debe ser para cada $p$ por separado.
Tu desarrollo está bueno, y si bien es verdad que eligiendo $x = p-1$ se cumple que $n=p(p-1)$ es entero y encontrás una solución, habría que ver si existen otros valores de $x$ digamos que hacen que esa expresión tuya última sea entero.
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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1
hola tengo una hipotesis sobre el orden de los numeros primos alguien me puede ayudar?
Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1
Última edición por Lean el Mié 21 Jun, 2023 9:49 pm, editado 1 vez en total.
"El mejor número es el 73".