a) Decidir si es posible dividir el conjunto de los $36$ números enteros entre $1$ y $36$ inclusive en $12$ conjuntos de tres elementos de manera que en todos ellos la suma de sus elementos sea la misma.
b) Decidir si es posible dividir el conjunto de los $39$ números enteros entre $1$ y $39$ inclusive en $13$ conjuntos de tres elementos de manera que en todos ellos la suma de sus elementos sea la misma.
a) Primero calculé la suma de todos los números del conjunto inicial:
$\frac{36\times(36+1)}{2}=666$
Luego, esa suma la divido por la cantidad de conjuntos de $3$ elementos que tengo que armar para saber cuál va a ser la suma de cada uno:
$\frac{666}{12}=55,5$
Como $55,5$ no es un número entero, no puede ser la suma de otros números enteros, por lo que no se puede cumplir lo pedido.
b) En este caso repetí el procedimiento anterior:
$\frac{39\times(39+1)}{2}=780$
$\frac{780}{13}=60$
Como esta vez la suma de los elementos de los $13$ conjuntos es un número entero, es posible cumplir lo pedido. Ejemplo:
$1;39;20$
$2;37;21$
$3;35;22$
$4;33;23$
$5;31;24$
$6;29;25$
$7;27;26$
$8;14;38$
$9;15;36$
$10;16;34$
$11;17;32$
$12;18;30$
$13;19;28$
a) Hacemos Gauss para sacar la suma de los números desde el 1 al 36 y nos da 666 y 666/12 no nos da un número entero positivo, nos da 55,5 y por la ley de cierre (creo) no se puede dar que tres números enteros positivos sumados no de otro número entero positivo.
b) Hacemos Gauss para sacar la suma de los números desde el 1 al 39 y nos da 780 y 780/13= 60 entonces se puede . Ahí lo que hice fue separar los 39 números en tres grupos: del 1 al 13, del 14 al 26 y del 27 al 39. Agarramos cada uno de los números del primer grupo y los ponemos a cada uno en diferentes grupo de los de tres y ese número x del primer grupo hacemos 60-x y ese resultado tenemos que encontrar dos números uno de el segundo grupo y otro del tercero para complementar y así salen estos grupos:
1,39,20
2,37,21
3,35,22
4,33,23
5,31,24
6,29,25
7,27,26
8,38,14
9,36,15
10,34,16
11,32,17
12,18,30
13,19,28