Reflexiones del Ortocentro

[Nacho]

Sea [math]H el ortocentro del triángulo [math]ABC. Sea [math]X la reflexión de [math]H sobre la recta [math]BC e [math]Y la reflexión de [math]H a través del punto medio de [math]BC. Luego, [math]X e [math]Y pertenecen al circuncírculo de [math]ABC, y [math]AY es diámetro.

Reflexión a través de [math]BC

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Tomemos la altura desde [math]A y continuemosla hasta la intersección con el circuncírculo. Llamemos a este punto [math]P. Vamos a ver que [math]P \equiv X.

Sea [math]A' el pie de la altura desde [math]A sobre [math]BC, y [math]C' el pie de la altura desde [math]C sobre [math]AB. Tenemos que [math]{\angle A'HC = \angle ABC}, ya que [math]A'HC y [math]BCC' son semejantes por tener un ángulo recto (el de las alturas con los lados) y a [math]\angle BCC' en común.

Pero por arco capaz, tenemos que [math]\angle ABC = \angle APC, de donde [math]HCP es isósceles. Pero como [math]CA' es altura del triángulo [math]HCP, al ser este isósceles también es mediana. Entonces [math]HA' = A'P.

Se puede concluir entonces que [math]P es la reflexión de [math]H por [math]BC, de donde [math]P\equiv X. Y como [math]P está en el circuncírculo, también lo debe estar [math]X. [math]\blacksquare

Reflexión a través del punto medio

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Primero notemos que el punto [math]Y es único, ya que la reflexión es una transformación biyectiva. Luego, si un punto [math]P sobre la recta [math]HM cumple que [math]HM=MX, tenemos que [math]P \equiv Y.

Ahora, sea [math]A' el punto diametralmente opuesto a [math]A. Como [math]AA' es un diámetro, vamos a tener, por arco capaz, que [math]{\angle ABA' = \angle ACA' = 90^{\circ}}. Además, tenemos que [math]BCDE es cíclico ya que [math]{\angle BDC = \angle BEC = 90^{\circ}}, por ser [math]D y [math]E pies de las alturas. Luego, simplemente restando, tenemos que [math]{\angle A'BD = \angle A'CE}.

Como [math]ABCA' es cíclico, tenemos que [math]{\angle BA'C = 180^{\circ} - \angle ABC}. También, como [math]AEHD es cíclico, tenemos que [math]{\angle DHE = 180^{\circ} - \angle ABC}, y [math]{\angle DHE = \angle BHC} por ser opuestos por el vértice. Así obtenemos que [math]{\angle BA'C = \angle BHC}.

Entonces, [math]A'BHC es un paralelogramo, pues tiene dos pares de ángulos opuestos congruentes. Puesto que es un paralelogramo, sus diagonales se cortan en sus puntos medios, [math]HM=MA', es decir que [math]A' es la reflexión de [math]H por [math]M. Luego [math]A'\equiv Y.

Así demostramos que [math]Y está sobre la circunferencia.

La colinealidad es trivial puesto que como [math]Y\equiv A', y [math]A' es el punto opuesto diametralmente a [math]A estamos. [math]\blacksquare

[ricarlos]

Hola, estas conclusines tienen mucho que ver con los llamados "segmentos de Poncelet"

Aqui hay algo de eso http://www.emis.de/journals/DM/v13-1/art8.pdf

[Gianni De Rico]

Sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$, respectivamente; en lo demás seguimos la notación anterior.


Primero, $A,H,X$ son colineales, pues tanto $A$ como $X$ están sobre la perpendicular a $BC$ por $H$.

Notemos que $E\widehat AD=B\widehat AC=\alpha$ sin importar si $\triangle ABC$ es acutángulo u obtusángulo (o bien $E$ y $D$ están sobre los segmentos $AB$ y $AC$ o los ángulos son opuestos por el vértice), como $A\widehat DH=A\widehat EH=90^\circ$, tenemos que $ADHE$ es cíclico y por lo tanto $D\widehat HE=180^\circ -\alpha =B\widehat HC$.

Por ser la reflexión de $H$ por $BC$, $B\widehat XC=B\widehat HC=180^\circ -\alpha$ y $CH=CX$.
Por ser la reflexión de $H$ por $M$, $HBYC$ es un paralelogramo y $B\widehat YC=B\widehat HC=180^\circ -\alpha$.
Luego, $A,B,C,X,Y$ están sobre la circunscrita a $\triangle ABC$.

Como $HBYC$ es un paralelogramo, $BY=CH=CX$, entonces $X\widehat YC=B\widehat CY\Rightarrow XY\parallel BC\perp AX$, de donde $AY$ es diámetro de la circunscrita.

[Fedex]

Supongamos $a, b, c$ complejos sobre la circunferencia unitaria con $h = a+b+c$ el ortocentro. Sean $h’$ y $h’’$ las reflexiones de $h$ por $bc$ y el punto medio de $bc$ respectivamente.
Sea $d$ el pie de $a$ sobre $bc$ entonces se da que $d = \frac{1}{2}(a+b+c- \frac{bc}{a})$ como además $d$ es el punto medio de $h$ y $h’$ resulta:
$$\frac{h+h’}{2} = d \Rightarrow h’ = -\frac{bc}{a}$$
Donde $|-\frac{bc}{a}| = \frac{|b||c| }{|a|} = 1$ por lo que $h’$ está en la circunferencia unitaria.
Para $h’’$ notar que $m = \frac{b+c}{2}$ resulta el punto medio de $h$ y $h’’$ por lo que se da:
$$\frac{h+h’’}{2} = m \Rightarrow h’’ = -a$$
Donde claramente $|-a| = 1$ que además, es la antípoda de $a$ sobre la circunferencia unitaria.