Reflexiones del Ortocentro

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Nacho

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Reflexiones del Ortocentro

Mensaje sin leer por Nacho »

Sea [math] el ortocentro del triángulo [math]. Sea [math] la reflexión de [math] sobre la recta [math] e [math] la reflexión de [math] a través del punto medio de [math]. Luego, [math] e [math] pertenecen al circuncírculo de [math], y [math] es diámetro.

Reflexión a través de [math]
reflexHBC.png
Tomemos la altura desde [math] y continuemosla hasta la intersección con el circuncírculo. Llamemos a este punto [math]. Vamos a ver que [math].

Sea [math] el pie de la altura desde [math] sobre [math], y [math] el pie de la altura desde [math] sobre [math]. Tenemos que [math], ya que [math] y [math] son semejantes por tener un ángulo recto (el de las alturas con los lados) y a [math] en común.

Pero por arco capaz, tenemos que [math], de donde [math] es isósceles. Pero como [math] es altura del triángulo [math], al ser este isósceles también es mediana. Entonces [math].

Se puede concluir entonces que [math] es la reflexión de [math] por [math], de donde [math]. Y como [math] está en el circuncírculo, también lo debe estar [math]. [math]

Reflexión a través del punto medio
reflexHpuntomedio.png
Primero notemos que el punto [math] es único, ya que la reflexión es una transformación biyectiva. Luego, si un punto [math] sobre la recta [math] cumple que [math], tenemos que [math].

Ahora, sea [math] el punto diametralmente opuesto a [math]. Como [math] es un diámetro, vamos a tener, por arco capaz, que [math]. Además, tenemos que [math] es cíclico ya que [math], por ser [math] y [math] pies de las alturas. Luego, simplemente restando, tenemos que [math].

Como [math] es cíclico, tenemos que [math]. También, como [math] es cíclico, tenemos que [math], y [math] por ser opuestos por el vértice. Así obtenemos que [math].

Entonces, [math] es un paralelogramo, pues tiene dos pares de ángulos opuestos congruentes. Puesto que es un paralelogramo, sus diagonales se cortan en sus puntos medios, [math], es decir que [math] es la reflexión de [math] por [math]. Luego [math].

Así demostramos que [math] está sobre la circunferencia.

La colinealidad es trivial puesto que como [math], y [math] es el punto opuesto diametralmente a [math] estamos. [math]
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"Though my eyes could see I still was a blind man"
ricarlos
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Re: Reflexiones del Ortocentro

Mensaje sin leer por ricarlos »

Hola, estas conclusines tienen mucho que ver con los llamados "segmentos de Poncelet"

Aqui hay algo de eso http://www.emis.de/journals/DM/v13-1/art8.pdf
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
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Gianni De Rico

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Re: Reflexiones del Ortocentro

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Como $Y$ es el simétrico de $H$ por el punto medio de $BC$, tenemos que $HBYC$ es un paralelogramo, con lo que $YB\parallel CH\perp BA$ e $YC\parallel BH\perp CA$, de modo que $Y$ está en el circuncírculo de $ABC$ y $AY$ es diámetro del mismo.
Como $X$ es el simétrico de $H$ por la recta $BC$ e $Y$ es el simétrico de $H$ por el punto medio de $BC$, tenemos que $B\widehat XC=B\widehat HC=B\widehat YC$ y que $X$ e $Y$ están en el mismo semiplano determinado por $BC$ (el semiplano opuesto al que está $H$), de modo que $X$ está en el circuncírculo de $BYC$, que es el circuncírculo de $ABC$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Fedex

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Re: Reflexiones del Ortocentro

Mensaje sin leer por Fedex »

Supongamos $a, b, c$ complejos sobre la circunferencia unitaria con $h = a+b+c$ el ortocentro. Sean $h’$ y $h’’$ las reflexiones de $h$ por $bc$ y el punto medio de $bc$ respectivamente.
Sea $d$ el pie de $a$ sobre $bc$ entonces se da que $d = \frac{1}{2}(a+b+c- \frac{bc}{a})$ como además $d$ es el punto medio de $h$ y $h’$ resulta:
$$\frac{h+h’}{2} = d \Rightarrow h’ = -\frac{bc}{a}$$
Donde $|-\frac{bc}{a}| = \frac{|b||c| }{|a|} = 1$ por lo que $h’$ está en la circunferencia unitaria.
Para $h’’$ notar que $m = \frac{b+c}{2}$ resulta el punto medio de $h$ y $h’’$ por lo que se da:
$$\frac{h+h’’}{2} = m \Rightarrow h’’ = -a$$
Donde claramente $|-a| = 1$ que además, es la antípoda de $a$ sobre la circunferencia unitaria.
This homie really did 1 at P6 and dipped.
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