Rioplatense 2022 - N1 P5

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Matías V5

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Rioplatense 2022 - N1 P5

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea $ABCDEFGHI$ un polígono regular de $9$ lados con sus vértices ubicados en sentido antihorario, y sea $ABJKLM$ un polígono regular de $6$ lados con sus vértices también ubicados en sentido antihorario.
Demostrar que los ángulos $H \widehat{M} G$ y $K \widehat{E} L$ son iguales.

Nota: El polígono $ABJKLM$ está en el interior del $ABCDEFGHI$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Tiziano Brunelli

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Re: Rioplatense 2022 - N1 P5

Mensaje sin leer por Tiziano Brunelli »

Spoiler: mostrar
El ángulo interno de un polígono regular de 9 lados (nonágono) y el de un polígono regular de 6 lados (hexágono) se puede calcular con la famosa fórmula de suma de lados, dividido por la cantidad de lados porque todos estos son iguales:
$\frac{180°(n-2)}{n}$
sustituyendo con 9 y 6 nos da 140° y 120° respectivamente
El Triángulo $AIH$ es isósceles por lo que podemos calcular que $\widehat{IAH}=20°$, como $\bar{AH}$ pasa en 120° antihorario con respecto a $\bar{AB}$ al igual que $\bar{AM}$, se tiene que ambas rectas son la mismas. Nótese que como $\widehat{IHA}=20°$ entonces $\widehat{MHG}=120°=\widehat{AML}$, lo que significa (algo a mi parecer impresionante) que $ML\parallel HG$. BGHA es un trapecio isósceles, por lo que $\widehat{ABG}=\widehat{BGH}=\frac{360-\widehat{AHG}-\widehat{HAB}}{2}=60°$, que es la misma amplitud en sentido horario de la diagonal del hexágono. Por lo que denuevo ahora los puntos B, G y L son colineales y también eso significa que $\widehat{MLG}=120°$ y también que $AI \parallel BG$. Como $\widehat{MLG}=120°$ y $\widehat{MLK}=120°$ entonces $\widehat{GLK}=120°$ necesariamente para completar la vuelta, eso significa que los triángulos MLG y KLG son congruentes por criterio LAL. Sea visto que por simetría $\widehat{KEL}=\widehat{KGL}$ y como los triángulos MLG y KLG son congruentes entonces $\widehat{KGL}=\widehat{MGL}$ y como MLGH es un paralelogramo entonces $\widehat{MGL}=\widehat{HMG}$ y eso demuestra que $\widehat{HMG}=\widehat{KEL}$
"cada vez que uses xor, piensa en mí, estaré usando vectores módulo 2"- un cordobés a otro. :D
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