Entrenamiento Rio 2019 - Problema 17 - N2 y N3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Monazo

OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Mención-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
OFO - Jurado-OFO 2023 OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 381
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 17
Nivel: Exolímpico

Entrenamiento Rio 2019 - Problema 17 - N2 y N3

Mensaje sin leer por Monazo »

En el planeta Automoría vive un número (posiblemente infinito) de automorianos. Cada automoriano posee sentimientos como amor y respeto. Se sabe que:
  1. Cada automoriano ama exactamente a un automoriano y respeta exactamente a un automoriano.
  2. Si $A$ ama a $B$, entonces todo automoriano que respeta a $A$ también ama a $B$.
  3. Si $A$ respeta a $B$, entonces todo automoriano que ame a $A$ también respeta a $B$.
  4. Para todo automoriano hay alguien que lo ama.
¿Es cierto que todo automoriano respeta al automoriano que ama?
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
Avatar de Usuario
Tiziano Brunelli

OFO - Medalla de Plata-OFO 2023 FOFO 13 años - Medalla-FOFO 13 años OFO - Mención-OFO 2024
Mensajes: 99
Registrado: Dom 21 Ago, 2022 1:24 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Al lado de Alta Córdoba, Córdoba capital, Córdoba

Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 17 - N2 y N3

Mensaje sin leer por Tiziano Brunelli »

Spoiler: mostrar
Sea $\mathbb{A}$ el conjunto que contiene a todos los automorianos. Amor y respeto son relaciones que relaciona un elemento del conjunto $\mathbb{A}$ con otro del conjunto $\mathbb{A}$, y cada una de estas relaciones están dentro de $\mathbb{A}^2$. Como todos los automorianos están relacionados y todos están relacionados con solo un automoriano, la relaciones amor y respeto cumplen la definición de función. Sea $f: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{A}$ la función amor, y $g: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{A}$ la finción respeto. El enunciado (2.) se puede reescribir como: $\forall A,C \in \mathbb{A}: g(C)=A \Rightarrow f(C)=f(A)$
y el (3.) como $\forall A,C \in \mathbb{A}: f(C)=A \Rightarrow g(C)=g(A)$
y el (4.) es lo mismo que afirmar que $f$ es una función sobreyectiva. Sea un elemento $A \in \mathbb{A}$ , entonces sabemos que existen $ B,C \in \mathbb{A}| f(C)=A$ y $g(A)=B$. De allí deducimos $f(C)=A \Rightarrow g(C)=g(A)=B \Rightarrow f(C)=f(B)=f(g(A))=A \Rightarrow g(g(A))=g(A) \Rightarrow g(B)=B$. También sabemos que existe unos $X,Y \in \mathbb{A}$ tal que $f(B)=X$ y $f(Y)=B$. De allí deducimos $g(A)=B \Rightarrow f(A)=f(B)=X$ ; $g(C)=B \Rightarrow f(C)=f(B)= \Rightarrow A=X \Rightarrow f(A)=A=f(B)$ ; $f(Y)=B \Rightarrow g(Y)=g(B)=B \Rightarrow f(B)=f(Y) \Rightarrow A=B$ y así demostramos que todo automoriano se respeta y ama a sí mismo, y por ende, aman y respeta a la misma persona, que son ellas. Por eso son auto-morianos, de auto-amor, quien hizo el nombre debe saber griego o habló griego capaz, pq es usual ver cómo cuando hay una situación de "ωα" la ω mata a la α se escribe y pronuncia solo ω.
1  
"cada vez que uses xor, piensa en mí, estaré usando vectores módulo 2"- un cordobés a otro. :D
BrunZo

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 FOFO 8 años - Mención Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Copa-FOFO 10 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2021 FOFO 11 años - Medalla-FOFO 11 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Medalla-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Medalla-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024 FOFO Pascua 2024 - Jurado-FOFO Pascua 2024
Mensajes: 419
Registrado: Mar 21 Nov, 2017 8:12 pm
Medallas: 17
Nivel: 3

Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 17 - N2 y N3

Mensaje sin leer por BrunZo »

Tiziano Brunelli escribió: Lun 06 Feb, 2023 5:41 pm
Spoiler: mostrar
Por eso son auto-morianos, de auto-amor, quien hizo el nombre debe saber griego o habló griego capaz, pq es usual ver cómo cuando hay una situación de "ωα" la ω mata a la α se escribe y pronuncia solo ω.
Spoiler: mostrar

¿La parte de griego es necesaria para resolver el problema o hay soluciones que no lo usan?

Igual, te banco
3  
Avatar de Usuario
Tiziano Brunelli

OFO - Medalla de Plata-OFO 2023 FOFO 13 años - Medalla-FOFO 13 años OFO - Mención-OFO 2024
Mensajes: 99
Registrado: Dom 21 Ago, 2022 1:24 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Al lado de Alta Córdoba, Córdoba capital, Córdoba

Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 17 - N2 y N3

Mensaje sin leer por Tiziano Brunelli »

BrunZo escribió: Lun 06 Feb, 2023 9:24 pm
Tiziano Brunelli escribió: Lun 06 Feb, 2023 5:41 pm
Spoiler: mostrar
Por eso son auto-morianos, de auto-amor, quien hizo el nombre debe saber griego o habló griego capaz, pq es usual ver cómo cuando hay una situación de "ωα" la ω mata a la α se escribe y pronuncia solo ω.
Spoiler: mostrar

¿La parte de griego es necesaria para resolver el problema o hay soluciones que no lo usan?

Igual, te banco
Spoiler: mostrar
no es necesaria, de hecho sabiendo lógica y teoría de conjuntos y funciones se puede sacar facilito (pero escribirlo en LaTeX es un incordio)
Spoiler: mostrar
Spoiler: mostrar
Spoiler: mostrar
Spoiler: mostrar
(entiendo que es en broma lo que dijiste)
Spoiler: mostrar
Spoiler: mostrar
Spoiler: mostrar
Spoiler: mostrar
Spoiler: mostrar
Imagen
pero analizás el nombre un poquito te sale solo a dónde vas a llegar, y herramientas como el griego te pueden ayudar, en fin y al cabo, no es necesario el griego pero recordemos que de gustibum non est disputandum
"cada vez que uses xor, piensa en mí, estaré usando vectores módulo 2"- un cordobés a otro. :D
alerodri1976
Mensajes: 19
Registrado: Jue 20 Feb, 2020 7:21 pm
Nivel: Ñandú

Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 17 - N2 y N3

Mensaje sin leer por alerodri1976 »

Spoiler: mostrar
Me cuesta leer la respuesta de Tiziano y me pierdo en el razonamiento así que voy a tratar de escribirla a mi manera. Por $(1)$ sabemos que existen las funciones amor y respeto. $F(x)$ es la función amor y $G(x)$ es la función respeto. Tomemos un $x$ cualquiera. Por $(4)$ sabemos que existe un individuo $y$ talque $F(y)=x$. Por (3) sabemos que si $F(y)=x$ entonces $G(y)=G(x)$. Por (2) sabemos que si $G(y)=G(x)$ entonces $F(y)=F(x)$ y como $F(y)=x$ entonces demostramos que $F(x)=x$ y todos los automorianos se aman a si mismos.

Para mostrar que además se respetan a si mismos supongamos que no es cierto. O sea que existe un $x$ tal que $G(x)=y$ con $y≠x$. Como $G(x)=y$ entonces $F(x)=F(y)$ y entonces $x=y$ lo cual contradice que $y≠x$.
Responder