Simulacro Nacional 2022 Politecnico - Nivel 2 Problema 5

[Fedex]

Decimos que un número $n$ es bueno si existe un entero positivo $k$ tal que $n=k(k+1)$. Decidir si existe un entero $N$ que verifique las siguientes condiciones:

• $N$ es bueno.

• $N$ es la suma de $2022$ números buenos distintos.

[Kechi]

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Primero recordemos la famosa suma de Gauss, $\frac{k(k+1)}{2}$, que es equivalente a la suma de todos los naturales menores o iguales que $k$. Entonces en nuestro caso
$$k(k+1)=2(1+2+3+\cdots+k)=2+4+6+\cdots+2k$$
Por lo tanto podemos redefinir un número bueno como el resultado de la suma de los primeros $k$ pares. A partir de esto desarrollamos una técnica para encontrar un número bueno que sea igual a la suma de $t>2$ números buenos: Hay que elegir arbitrariamente $t-1$ números buenos distintos cuya suma sea $S$, luego elegir el número que sea la suma de todos los pares desde $2$ hasta $S-2$ y sumar todos los números; el resultado es la suma de todos los pares menores o iguales que $S$, es decir que es bueno, y es resultado de sumar $t$ números buenos distintos.

[Lean]

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Por Gauss se tiene que k(k+1) = 2 + 4 + ... + 2k. Si agrego 2k+2 a cada lado, la suma de Gauss se vuelve (k+1)(k+2), es decir, otro bueno. Entonces puedo tomar arbitrariamente 2k+2 tal que este sea la suma de 2021 buenos, esto es posible ya que todos los numeros buenos son pares. Ahora bien, hace falta asegurar que 2k+2 no incluya en su suma a k(k+1).

Veamos que 2k+2 siempre es menor que k(k+1) para todo k>2.

Por lo tanto, como 2k+2+k(k+1) = (k+1)(k+2), ya lo tenemos.