Selectivo IMO 2022 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Gianni De Rico

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Selectivo IMO 2022 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Para cada entero positivo $N>1$, sea $m$ su mayor divisor menor que $N$. Hallar todos los $N$ tales que $N+m$ es una potencia de $10$.

Nota: Las potencias de $10$ son $10,10^2,10^3,10^4,\ldots$
Última edición por BrunZo el Mié 24 Ene, 2024 2:59 pm, editado 1 vez en total.
Razón: antes decía $10,10^3,10^3,10^4,\ldots$
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Re: Selectivo IMO 2022 P1

Mensaje sin leer por ... »

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Podemos pensarlo así:
Digamos que $m=\frac{N}{p_{m}}$, siendo $p_{m}$ el menor factor primo de $N$. Entonces, necesitamos que
$N+\frac{N}{p_{m}}=10^{k}$, con $k$ entero positivo. Esto lo desarrollamos así:
$\frac{N\cdot p_{m}+N}{p_{m}}=10^{k}$
$N(p_{m}+1)=10^{k}\cdot p_{m}$ (*)
Como es imposible que $p_{m}+1$ comparta algún factor primo con $p_{m}$, entonces $p_{m}+1|10^{k}$. Viendo módulo $3$ es fácil ver que es imposible que $p_{m}+1=10^{k}$, lo que significa que $N$ va a tener al menos un factor primo $2$ o $5$, lo que indica que $p_{m}\leq 5$. Entonces, $p_{m}$ puede ser $2$, $3$ o $5$. Si probamos con $2$ o con $5$ vemos que en (*) el lado derecho siempre es divisible por $3$ y el lado izquierdo nunca lo es. Luego, $p_{m}=3$. Esto significa que $N$ no es divisible por $2$, por lo que $p_{m}+1=2^{k}$, y $k=2$. Reemplazando todo, tenemos:
$4N=10^{2}\cdot 3$
$N=75$
Este es el único $N$ posible, y es fácil ver que cumple.
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Ignacio Daniele

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Re: Selectivo IMO 2022 P1

Mensaje sin leer por Ignacio Daniele »

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N=m×p/p es el menor divisor primo de N
N+m=mp+m=m(p+1)=10ⁿ=(2×5)ⁿ
Todos los divisores de m son mayores o iguales a p.
Si p>5, los divisores de m son mayores a 5, por lo que son distintos de 2 y 5, lo que no sirve.
Quedan tres opciones, p=2, p=3 o p=5.
Si p=2 o p=5, (p+1)≡0(mod 3), lo que es absurdo, porque no sería una potencia de 10.
Si p=3, m no puede ser múltiplo de 2 porque tendría un divisor más chico que p, entonces m=5ⁿ.
Dado que p+1=4=2², n=2=>5ⁿ=5²=25=>N=p×m=3×25=75
La única solución es N=75.
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TitanDelSur

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Re: Selectivo IMO 2022 P1

Mensaje sin leer por TitanDelSur »

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Se definirá a $d$ como el mínimo divisor propio de $N$ ($d$ es primo). De esta forma, $m=\frac{N}{d}$. Por lo tanto, $N+\frac{N}{d}=N(1+\frac{1}{d})=N(\frac{d+1}{d})=10^t,t\in \mathbb N$. Por esto, $N=\frac{10^t\cdot d}{d+1}$. Es decir, $d+1|10^t\cdot d$. Se considera en primer lugar $5\geq d$. Si $d=2$ o $5$, se tiene que $3|10^t\cdot 2$ o $6|10^t\cdot 5$ respectivamente, lo cual es absurdo, ya que $10^t\cdot 2$ y $10^t\cdot 5$ no son múltiplos de 3. Finalmente con $d=3$ se tiene que $N=\frac{10^t\cdot 3}{4}=\frac{2^t\cdot 5^t\cdot 3}{2^2}$. $t\geq2$, pero si $t>2$, entonces $N$ es par, pero se determinó que $d\neq2$. Por consiguiente, $t=2$, resultando en $N=75$ y $m=25$, que verifica $75+25=10^2$. Para $d>5$ ocurre lo mismo, como $d$ es coprimo con $d+1$, $d+1|2^t\cdot 5^t$. Es decir, $d+1=2^a\cdot 5^b$, con $t\geq a$ y $t\geq b$, pero si $t>a$ o $t>b$ entonces $N$ es múltiplo de $2$ o $5$ respectivamente, lo que contradice a $d>5$. Por ende, $a=b=t$, $d+1=2^t\cdot 5^t=10^t$, y $d=10^t-1$, $N=\frac{10^t\cdot (10^t-1)}{10^t}=10^t-1$. Sin embargo, independiente del $t$, $10^t-1$ es múltiplo de 3, que a su vez contradice también que $d>5$. Por lo tanto, la única solución es $d=3$, donde $N=75$ $\clubsuit$
3  
Eratóstenes fue un elemento esencial de la matemática; sus descubrimientos quedarán periódicos en la historia. En su tabla, basta con mirar levemente hacia la izquierda para pasar del 79 al 47
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drynshock

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Re: Selectivo IMO 2022 P1

Mensaje sin leer por drynshock »

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$N + m = 10^k, (k \in \mathbb Z^+)$

Lema: Si $m$ es el mayor divisor de $N$, entonces $\frac{n}{m}$ es primo.

Demostración:

Sean $1, d_1 , d_2 , ... , d_{n-1}$ , $n$ los divisores de $N$ ordenados de menor a mayor. (Nota, si $N$ tiene una cantidad impar de divisores la lógica es la misma, solamente repetimos un divisor)
Sabemos que $d_1.d_{n-1} = n$. Entonces supongamos que $d_1$ no es primo, por lo tanto $d_1 = q.m$ siendo $q$ un primo y $m$ un entero positivo mayor que 1. Como $d_1 | n \therefore q.m | n \Rightarrow q | n$. Por lo que encontramos un primo menor que $d_1$ el cual divide a $n$, lo que contradice nuestra suposición de que $d_1$ no era primo. Entonces concluimos que $d_1$ ha de ser primo.

$\blacksquare$


Siguiendo con el problema, ahora podemos escribir $m$ como $\frac{N}{p}$ siendo $p$ un numero primo.

$N + \frac{N}{p} = 10^k$
$N = \frac{p.10^k}{p+1} \Rightarrow \boxed{N = \frac{p.2^k.5^k}{p+1}}$

Dividamos el problema en casos.

Si $2 | N$

Si $2 | N$ entonces el menor primo que divide a $N$ es $2 \Rightarrow p = 2$.

$N = \frac{2^{k+1}.5^{k}}{3}$

Absurdo ya que $3$ no divide a $2^{k+1}.5^{k}$.

Concluimos que $2$ no es divisor de $N$.


Si $3 | N$

Si $3 | N$ entonces el menor primo que divide a $N$ es $3 \Rightarrow p = 3$.

$N = \frac{3.2^{k}.5^{k}}{4} \Rightarrow N = 3.2^{k-2}.5^k$

De lo cual concluimos que $k = 2$ ya que si $k > 2$, $2 | N$, lo cual es absurdo por lo que demostramos antes.

Por lo tanto esta es la única solución que existe cuando $3 | n$


Si $5 | N$

Consideremos a $5$ como el menor primo que divide a $N$, ya que el caso cuando $3 | N$ lo vimos previamente.

Luego, $P = 5 \Rightarrow N = \frac{2^k.5^{k+1}}{3.2}$

Absurdo ya que $3$ no divide a $2^k.5^{k+1}$. Por lo tanto como $5$ no divide a $N$, y como $2$ tampoco lo hace, entonces $10$ no es divisor de $N$.


Sabiendo que $N = \frac{p.10^k}{p+1}$ y que $10$ no divide a $N$, entonces si $p + 1 | p.10^k \Rightarrow p + 1 | 10^k \Rightarrow p + 1 = 10^k$, ya que no pueden quedar factores de $10^k$ "sueltos".

De esta manera queda que $N = \frac{p.10^k}{10^k} \Rightarrow N = p \therefore$

$N + 1 = 10^k \Rightarrow N = 10^k - 1$

Veamos que $10 \equiv 1 (mod 9) \Rightarrow 10^k \equiv 1 (mod 9) \Rightarrow 10^k - 1 \equiv 0 (mod 9)$, entonces $9 | N$ pero como $N = p$ y $p$ es primo, entonces llegamos a dos absurdos: el primero porque $N$ no puede ser primo si $9$ lo divide, y el segundo porque habíamos dicho que $3$ no dividía a $N$.

Finalmente, concluimos que la única solución se da cuando $\boxed{N = 75}$.
($N + m = 100 \Rightarrow 75 + 25 = 100$)

$\blacksquare$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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