Rioplatense 2022 - N3 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Rioplatense 2022 - N3 P1

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales la ecuación
$x^2 + y^{11} - z^{2022!} = n$
no posee solución $(x,y,z)$ en enteros.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Joacoini

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Re: Rioplatense 2022 - N3 P1

Mensaje sin leer por Joacoini »

Spoiler: mostrar
Viendo módulo $23$.
$z^{2022!}$ solo puede tomar los valores $0$ y $1$, dado que $22|2022!$ y por fermatito $z^{22}$ tiene resto 1 cuándo $z$ es coprimo con $23$.
$y^{11}$ solo puede tomar los valores $0$, $1$ y $-1$, dado que por fermatito $23|(y^{11})^2-1=(y^{11}-1)(y^{11}+1)$ cuándo $y$ es coprimo con $23$, así que $23|y^{11}-1$ ó $23|y^{11}+1$.
A mano se ve que $x^2$ solo puede tomar los valores $0,1,2,4,6,8,9,12,13,16$ y $18$
Luego, todos los números $n$ tales que $n$ tiene resto $19$ ó $20$ en la división por $23$ hacen que la ecuación no posea soluciones.
NO HAY ANÁLISIS.
sebach

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Re: Rioplatense 2022 - N3 P1

Mensaje sin leer por sebach »

Joacoini escribió: Mié 13 Sep, 2023 4:18 pm
Spoiler: mostrar
Viendo módulo $23$.
$z^{2022!}$ solo puede tomar los valores $0$ y $1$, dado que $22|2022!$ y por fermatito $z^{22}$ tiene resto 1 cuándo $z$ es coprimo con $23$.
$y^{11}$ solo puede tomar los valores $0$, $1$ y $-1$, dado que por fermatito $23|(y^{11})^2-1=(y^{11}-1)(y^{11}+1)$ cuándo $y$ es coprimo con $23$, así que $23|y^{11}-1$ ó $23|y^{11}+1$.
A mano se ve que $x^2$ solo puede tomar los valores $0,1,2,4,6,8,9,12,13,16$ y $18$
Luego, todos los números $n$ tales que $n$ tiene resto $19$ ó $20$ en la división por $23$ hacen que la ecuación no posea soluciones.
Spoiler: mostrar
Si $n$ tiene resto $19$, podría existir $x$ tal que $x^2$ tenga resto $18$, $y$ tal que $y^{11}$ tenga resto $1$, y $z$ múltiplo de $23$ tal que los restos de ambos lados en la divisón por $23$ sean iguales.
El único resto de $23$ que funciona seguro es $20$ pero sigue habiendo infinitos :P
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