Sea [math]n un entero positivo no divisible por [math]3. Demuestre que [math]n admite una representación de la forma [math]n = \frac{3xy}{x+y} donde [math]x,y son enteros positivos, si y sólo si [math]n tiene al menos un divisor de la forma [math]3k+2 para algún [math]k=0,1,2,\ldots.
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Sea [math]p un numero de la forma [math]3j-1,
Luego [math]p+1=3j
Fijemos [math]x=j e [math]y=pj
Luego [math]\frac{3xy}{x+y}=\frac{3(pj)j}{(p+1)j}=\frac{(3j)p}{p+1}=p
Entonces tenemos que para un numero de la forma [math]3k+2 el enunciado es valido,
Ahora, veamos que pasa para los multiplos de la forma [math]3k+1 de algún [math]p, digamos [math]ap,
fijamos [math]x=aj e [math]y=apj,
nos queda [math]\frac{3xy}{x+y}=\frac{3(aj)(apj)}{aj(p+1)}=\frac{(3j)ap}{p+1}=ap,
luego concluye la ida del problema, y después veo que onda la vuelta que me tengo que ir
(hasta ahora también funca con [math]n múltiplo de [math]3 si tiene algún divisor de la forma [math]3k+2).
Juntando el Lema 1 y el Lema 2, tenemos que se puede para todo $n$ múltiplo de $3k +2$, es decir, para todo $n$ con al menos un divisor de la forma $3k +2$.
Demostremos que si $n$ cumple que $n = \frac{3xy}{x+y}$, entonces tiene algún divisor de la forma $3k + 2$
Si $n$ es múltiplo de un primo $p$ (distinto de $3$), y tenemos que:
$n = \frac{3xy}{x+y}$
$3xy$ debe ser múltiplo de $p$, y como $p$ es primo, entonces, al menos uno de $x$ e $y$ es múltiplo de $p$. WLOG, $x = lp$ para algún $l$ entero positivo.
Sustituimos, y nos queda:
$$p = \frac{3lpy}{lp+y}$$
Despejamos $y$:
$$\frac{lp}{(3l-1)} = y$$
Como $y$ es un entero positivo, nos queda que:
$$3l - 1 | lp$$
Como $3l - 1$ es coprimo con $l$, entonces:
$$3l - 1 | p$$,
o lo que es lo mismo
$$3 (l-1) + 2 | p$$
es decir que $p$ es de la forma $3k + 2$.
Por lo tanto, llegamos a que $n$ debe tener al menos un divisor primo $p$ de la forma $3k+2$.
Uniendo la Parte 1 y la Parte 2, llegamos a que todo $n$ con algún divisor de la forma $3k +2$ cumple, y todo $n$ que cumple tiene algún divisor de la forma $3k+2$, o lo que es lo mismo, podemos decir que:
Un $n$ entero positivo no múltiplo de $3$ admite una representación de la forma $n = \frac{3xy}{x+y}$ si y sólo si $n$ tiene al menos un divisor de la forma $3k+2$, QED.
