Una torre se ubica en alguna casilla de un tablero de ajedrez de $10×10$. En cada turno se mueve a una casilla adyacente a la que se encuentra y pasó por cada una exactamente una vez.
Demuestre que para cada diagonal principal (la diagonal entre las esquinas del tablero) es cierta la siguiente afirmación: en el camino de la torre hubo dos pasos consecutivos en los que la torre se apartó de la diagonal y luego regresó a la diagonal.
7 PUNTOS
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
Si tenemos dos casillas $A$ y $B$, y la torre pasa de $A$ a $B$, podemos expresar ese turno como $A \to B$. Diremos que tanto $A$ como $B$ están involucradas en ese turno.
Supongamos que la afirmación es incorrecta, e intentemos llegar a un ejemplo. Veamos que es imposible para la diagonal principal negra, que va desde la esquina inferior izquierda a la superior derecha del tablero. Llamemos a las casillas de esta diagonal $C_{1},\ldots, C_{10}$, acorde al orden en que la torre fue pasando por ellas. Además, llamamos a las $18$ casillas de las dos diagonales blancas vecinas a esta diagonal principal $c_1, \ldots, c_{18}$ (también según el orden en que la torre las atravesó). Notemos que cualquier turno que involucre a $C_{k}$, con $1 \leq k \leq 10$ será de la forma $C_{k} \to c_{j}$ o $c_{j} \to C_{k}$, para $1 \leq j \leq 18$. Además, $c_{j}$ solo puede aparecer en un turno que involucre algún $C_{k}$, ya que si aparece en dos significa que salió de la diagonal principal y volvió a entrar en turnos consecutivos (o que pasó por esa casilla dos veces). Como hay $18$ casillas en las diagonales vecinas a la principal, hay un máximo de $18$ turnos que involucran sus casillas. Las casillas $C_2, \ldots, C_9$ forzosamente están involucradas en dos turnos, mientras que $C_{1}$ y $C_{10}$ están involucradas como mínimo en uno. Por lo tanto, la torre debe iniciar su recorrido en $C_{1}$ y finalizarlo en $C_{10}$, ya que sino nos pasamos de los $18$ turnos. Supongamos que este es el caso, y notemos que cuando la torre pasa por las casillas $c_{1},\ldots, c_{18}$ o bien en su anterior turno estaba en la diagonal o bien en su próximo turno lo estará, ya que $c_{1},\ldots, c_{18}$ necesariamente están involucradas en un turno con algún $C_{k}$. Entonces, podemos categorizar estas casillas como casillas salida y casillas entrada. Digamos que la torre comienza en $C_1$ y sale hacia abajo respecto a la diagonal principal. Entonces, ese lado ya tiene una casilla salida. Las casillas salida y entrada se alternan una y una, por lo que la última casilla vecina a la diagonal por la que pase de ese lado también será salida (ya que hay un número impar de casillas vecinas a la diagonal principal en ese lado). Pero si la torre debe terminar sobre la diagonal principal, la casilla vecina a la diagonal principal que atraviese última tiene que ser entrada. Entonces llegamos a un absurdo, y la afirmación se cumple para la diagonal principal negra.
Análogamente, se cumple para la blanca.
Si tenemos dos casillas $A$ y $B$, y la torre pasa de $A$ a $B$, podemos expresar ese turno como $A \to B$. Diremos que tanto $A$ como $B$ están involucradas en ese turno.
Supongamos que la afirmación es incorrecta, e intentemos llegar a un ejemplo. Veamos que es imposible para la diagonal principal negra, que va desde la esquina inferior izquierda a la superior derecha del tablero. Llamemos a las casillas de esta diagonal $C_{1},\ldots, C_{10}$, acorde al orden en que la torre fue pasando por ellas. Además, llamamos a las $18$ casillas de las dos diagonales blancas vecinas a esta diagonal principal $c_1, \ldots, c_{18}$ (también según el orden en que la torre las atravesó). Notemos que cualquier turno que involucre a $C_{k}$, con $1 \leq k \leq 10$ será de la forma $C_{k} \to c_{j}$ o $c_{j} \to C_{k}$, para $1 \leq j \leq 18$. Además, $c_{j}$ solo puede aparecer en un turno que involucre algún $C_{k}$, ya que si aparece en dos significa que salió de la diagonal principal y volvió a entrar en turnos consecutivos (o que pasó por esa casilla dos veces). Como hay $18$ casillas en las diagonales vecinas a la principal, hay un máximo de $18$ turnos que involucran sus casillas. Las casillas $C_2, \ldots, C_9$ forzosamente están involucradas en dos turnos, mientras que $C_{1}$ y $C_{10}$ están involucradas como mínimo en uno. Por lo tanto, la torre debe iniciar su recorrido en $C_{1}$ y finalizarlo en $C_{10}$, ya que sino nos pasamos de los $18$ turnos. Supongamos que este es el caso, y notemos que cuando la torre pasa por las casillas $c_{1},\ldots, c_{18}$ o bien en su anterior turno estaba en la diagonal o bien en su próximo turno lo estará, ya que $c_{1},\ldots, c_{18}$ necesariamente están involucradas en un turno con algún $C_{k}$. Entonces, podemos categorizar estas casillas como casillas salida y casillas entrada. Digamos que la torre comienza en $C_1$ y sale hacia abajo respecto a la diagonal principal. Entonces, ese lado ya tiene una casilla salida. Las casillas salida y entrada se alternan una y una, por lo que la última casilla vecina a la diagonal por la que pase de ese lado también será salida (ya que hay un número impar de casillas vecinas a la diagonal principal en ese lado). Pero si la torre debe terminar sobre la diagonal principal, la casilla vecina a la diagonal principal que atraviese última tiene que ser entrada. Entonces llegamos a un absurdo, y la afirmación se cumple para la diagonal principal negra.
Análogamente, se cumple para la blanca.
Acabo de darme cuenta que la última parte no hace falta, alcanza con ver que la torre siempra va a terminar en una casilla de color distinto a la que empieza, por lo que no puede arrancar y terminar sobre la misma diagonal.
