Determinar el menor número entero positivo $n$ que es igual a la suma de $11$ números enteros positivos consecutivos, también es igual a la suma de $12$ números enteros positivos consecutivos y además es igual a la suma de $13$ números enteros positivos consecutivos.
Este problema lo intenté hacer la noche del miércoles, mientras mi compañero de habitación me decía de todo menos cosas lindas por no apagar el velador jejee.
Planteemos las igualdades en relación a n:
$$n=11a+\frac{10(1+10)}{2}=11a+55=11(a+5)$$
$$n=12b+\frac{11(1+11)}{2}=12b+66=6(2b+11)$$
$$n=13c+\frac{12(1+12)}{2}=13c+78=13(c+6)$$
Por lo anterior sabemos que n es múltiplo de 11,6 y 13, es decir:
$$n≡0(mod 11)$$
$$n≡0(mod 6)$$
$$n≡0(mod 13)$$
Entonces:
$$n≡0[mod MCM(11,6,13)]$$
$$n≡0(mod 858)$$
n debe ser múltiplo de 858. Si reemplazamos 858 en las igualdades antes planteadas:
$$a=73,b=66,c=60$$
858 es el menor múltiplo de 858 que cumple que a,b y c sean enteros positivos.
Respuesta: $n=858$
Tenemos la suerte de que existe un lema que nos dice que si $m$ es la suma de una cantidad impar $i$ de números consecutivos entonces $i\mid m$. Así, como $gcd(11,13)=1$, tenemos que $n=11\times 13\times x$.
También, tenemos otro lema que nos dice que si $m$ es la suma de una cantidad par $p$ de números entonces $m\equiv \frac{p}{2} \mod p$. Así tenemos que $n\equiv 6 \mod 12 \Rightarrow 11\times 13\times x \equiv 11\times 1 \times x \equiv 11\times x \equiv 6 \mod12$. Si probamos todos los posibles valores de $x$ (del $0$ al $11$) vemos que el único que funciona es $x\equiv 6 \mod 12$. Como tenemos que el menor número positivo $x$ tal que $x\equiv 6 \mod 12$ es $0\times 12+6=6$ entonces $n=11\times 13\times 6=858=73+74+75+76+77+78+79+80+81+82+83=66+67+68+69+70+71+72+73 +74+75+76+77=60+61+62+63+64+65+66+67+68+69+70+71+72$