Nacional 2022 - Nivel 2 - Problema 4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Monazo

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Nacional 2022 - Nivel 2 - Problema 4

Mensaje sin leer por Monazo »

Determinar el menor número entero positivo $n$ que es igual a la suma de $11$ números enteros positivos consecutivos, también es igual a la suma de $12$ números enteros positivos consecutivos y además es igual a la suma de $13$ números enteros positivos consecutivos.
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
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Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
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Re: Nacional 2022 - Nivel 2 - Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Hay un cierto parecido con Nacional 1995 N3 P4.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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santiluca
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Re: Nacional 2022 - Nivel 2 - Problema 4

Mensaje sin leer por santiluca »

Este problema lo intenté hacer la noche del miércoles, mientras mi compañero de habitación me decía de todo menos cosas lindas por no apagar el velador jejee.
Spoiler: mostrar
Planteemos las igualdades en relación a n:
$$n=11a+\frac{10(1+10)}{2}=11a+55=11(a+5)$$
$$n=12b+\frac{11(1+11)}{2}=12b+66=6(2b+11)$$
$$n=13c+\frac{12(1+12)}{2}=13c+78=13(c+6)$$
Por lo anterior sabemos que n es múltiplo de 11,6 y 13, es decir:
$$n≡0(mod 11)$$
$$n≡0(mod 6)$$
$$n≡0(mod 13)$$
Entonces:
$$n≡0[mod MCM(11,6,13)]$$
$$n≡0(mod 858)$$
n debe ser múltiplo de 858. Si reemplazamos 858 en las igualdades antes planteadas:
$$a=73,b=66,c=60$$
858 es el menor múltiplo de 858 que cumple que a,b y c sean enteros positivos.
Respuesta: $n=858$
Resolviendo el problema 8
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magnus

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Re: Nacional 2022 - Nivel 2 - Problema 4

Mensaje sin leer por magnus »

Spoiler: mostrar
Llamo al número que buscamos $n$.

Tenemos la suerte de que existe un lema que nos dice que si $m$ es la suma de una cantidad impar $i$ de números consecutivos entonces $i\mid m$. Así, como $gcd(11,13)=1$, tenemos que $n=11\times 13\times x$.

También, tenemos otro lema que nos dice que si $m$ es la suma de una cantidad par $p$ de números entonces $m\equiv \frac{p}{2} \mod p$. Así tenemos que $n\equiv 6 \mod 12 \Rightarrow 11\times 13\times x \equiv 11\times 1 \times x \equiv 11\times x \equiv 6 \mod12$. Si probamos todos los posibles valores de $x$ (del $0$ al $11$) vemos que el único que funciona es $x\equiv 6 \mod 12$. Como tenemos que el menor número positivo $x$ tal que $x\equiv 6 \mod 12$ es $0\times 12+6=6$ entonces $n=11\times 13\times 6=858=73+74+75+76+77+78+79+80+81+82+83=66+67+68+69+70+71+72+73 +74+75+76+77=60+61+62+63+64+65+66+67+68+69+70+71+72$
estudiar es temporal, la play es ETERNA
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