Nacional 2005 N1P1

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julianferres_

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Nacional 2005 N1P1

Mensaje sin leer por julianferres_ »

Mauro escribió la lista de los números de $12$ dígitos con cada dígito igual a $0$ ó $1$ tales que la suma de los dígitos en las posiciones pares es igual a la suma de los dígitos en las posiciones impares. Determinar cuántos números tiene la lista de Mauro.

Aclaración: Todos los números de la lista tienen el primer dígito de la izquierda igual a $1$.
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julianferres_

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Re: Nacional 2005 N1P1

Mensaje sin leer por julianferres_ »

Los números de la forma de la lista de Mauro son en total [math] puesto que el primer dígito debe ser [math].

Decimos [math] y [math] a la suma de los dígitos en posiciones impares y pares respectivamente. [math]
Si [math]
Si [math] puesto que [math] utiliza un [math] si o si en su primer dígito.
Si [math]
Si [math]
Si [math]
Si [math]

En total hay[math]números en los cuales [math]
NehuenIGDS

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Re: Nacional 2005 N1P1

Mensaje sin leer por NehuenIGDS »

2  
MathIQ
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Re: Nacional 2005 N1P1

Mensaje sin leer por MathIQ »

Spoiler: mostrar
Sabiendo que tenemos que buscar todos los números de 12 dígitos con cada dígito igual a 0 ó 1 y que la suma de los dígitos en las posiciones pares es igual a la suma de los dígitos en las posiciones impares.
Denominemos $x$ a esta suma.
Sabiendo que cada número tiene 12 dígitos y que el primero a la izquierda es 1, entonces los valores de $x$ serán:
$x$ = 1, $x$ = 2, $x$ = 3, $x$ = 4, $x$ = 5 y $x$ = 6.
·Si $x$ = 1, entonces las posibilidades serán 6, ya que el numero quedaría así: 1$n$0$n$0$n$0$n$0$n$0$n$, donde cada $n$ es una posibilidad de que vaya un 1( para que cumpla que las sumas sean iguales).
·Si $x$ = 2, entonces las posibilidades serán 75.Esto sucede ya que para que las sumas sea 2 precisamos de 2 unos , supongamos que ponemos el uno faltante de las posiciones impares, en la posición 11: 1$n$0$n$0$n$0$n$0$n$1$n$, entonces nos quedaría colocar los 2 unos faltantes en las posiciones pares, supongamos que ponemos el primer 1 en la posición 12 , entonces las posibilidades a poner el segundo 1 son 5, y si vamos haciendo lo mismo, es decir, buscar las posibilidades con cada lugar de dígito par que pongamos el primer 1, es lógico que las posibilidades van a ir disminuyendo en 1, quedando un total de 5+4+3+2+1 = 15 posibilidades, que corresponden al lugar de dígito 11 que pusimos el segundo 1, y como estas posibilidades son 5, ya que son todas las posiciones impares y estamos descartando el primer 1 de la izquierda, nos quedan un total de 15 x 5 = 75 posibilidades.
·Si $x$ = 3, entonces, siguiendo lo mismo explicado anteriormente tan solo que buscando las posibilidades con el tercer 1 obtenemos 20 posibilidades con los números pares , y sabiendo que las posibilidades distintas de hacer que la suma de los dígitos impares sea 3 son 10 , entonces nos queda un total de 200 posibilidades(20 x 10).
·Si $x$ = 4, entonces, siguiendo lo anteriormente dicho pero buscando el cuarto 1 obtenemos que las posibilidades con los números pares son 15 y como las posibilidades de lograr esto mismo con los números impares son 10, entonces tendremos 150 posibilidades(5 x 10).
·Si $x$ = 5, entonces siguiendo lo anteriormente dicho, pero buscando el quinto 1 obtenemos que las posibilidades con los números pares son 6 y como las posibilidades de lograr esto mismo con los números impares son 5, obtenemos un total de 30 posibilidades (6 x 5).
·Si $x$ = 6, es lógico que las posibilidades serán 1 ya que el número quedaría así: 111111111111.
★Sumando nos queda un total de : $6$ + $75$ + $200$ + $150$ + $30$ + $1$ = $462$ posibilidades y como cada posibilidad es un número en total son $462$ números.
DATO: Todos estos números son divisibles por 11, ya que cumplen el criterio de divisibilidad del mismo.
:D
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