Nacional 2003- P5 N1
Este problema en el Archivo de Enunciados:
• Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2003 • Nivel 1Nacional 2003- P5 N1
En el pizarrón hay escrito un número de [math] dígitos con los últimos tres dígitos de la derecha iguales a [math]. Debajo de este número, y usando exactamente los mismos dígitos, pero en otro orden, Luciano escribe un nuevo número de [math] dígitos: deja los tres últimos [math], e intercambia a voluntad los primeros [math] dígitos. Esta operación la repite una y otra vez, hasta tener escritos en el pizarrón [math] números de [math] dígitos. A continuación, suma esos [math] números, y al resultado lo divide por [math]. Calcular el resto de la división que hizo Luciano.
Re: Nacional 2003- P5 N1
Escribiria mi solucion si supiera usar bien Latex, me dio 45
Aguante el paco vieja
- No, manzana
- Mensajes: 68
- Registrado: Jue 10 Mar, 2011 5:51 pm
- Nivel: Exolímpico
- Ubicación: Cordoba x2
- Contactar:
-
lichafilloy
- Mensajes: 116
- Registrado: Dom 02 Sep, 2012 12:51 pm
- Medallas: 7
- Nivel: Exolímpico
- Ubicación: Quilmes
Re: Nacional 2003- P5 N1
Por que si tiene resto [math] en la división por [math] y resto [math] en la división por [math] tendrá resto [math] en la división por [math] :
Última edición por lichafilloy el Lun 05 Nov, 2012 12:05 pm, editado 1 vez en total.
Master de Rumania y paz mundial
Re: Nacional 2003- P5 N1
Primero lo clave es ver que cada numero se usa [math] veces, por lo que el resto en la division por [math] va a ser [math]. Despues te da los ultimos [math] numeros para el criterio de divisiblidad por [math] y te fijas que numero menor a [math], multiplo de [math], tiene resto [math] en la division por [math] y este es el [math].
Re: Nacional 2003- P5 N1
Sean $x_1,x_2,x_3, ..., x_ {99}$ los $99$ números. Como los dígitos de todos los números son los mismos, al calcular la suma de los dígitos de cada número, llamemosla $k$, vemos que $x_n \equiv k (mod. 9)$ para todo $n$. Luego, $x_1+x_2+...+x_99 \equiv 99k \equiv 9 \cdot 11k \equiv 0(mod. 9)$.
Luego, todo $x_n \equiv 999 \equiv -1(mod. 8)$, por lo que $x_1+x_2+...+x_{99} \equiv -99 \equiv 5(mod. 8)$.
Los números con resto $5(mod. 8)$ menores que 72 son 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, 69, de los cuales el único múltiplo de 9 es el 45, por lo que el resto de la suma que hizo Luciano es 45.
Luego, todo $x_n \equiv 999 \equiv -1(mod. 8)$, por lo que $x_1+x_2+...+x_{99} \equiv -99 \equiv 5(mod. 8)$.
Los números con resto $5(mod. 8)$ menores que 72 son 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, 69, de los cuales el único múltiplo de 9 es el 45, por lo que el resto de la suma que hizo Luciano es 45.