Las diagonales [math]AC y [math]BD de un cuadrilátero convexo [math]ABCD se cortan en [math]E y [math]\frac{CE}{AC}=\frac{3}{7} , [math]\frac{DE}{BD}=\frac{4}{9} . Sean[math]P y [math]Q los puntos que dividen el segmento [math]BE en tres partes iguales, con [math]P entre [math]B y [math]Q, y sea [math]R el punto medio del segmento [math]AE. Calcular [math]\frac{\text{Area}(APQR)}{\text{Area}(ABCD)}.
Primero veamos que el área de [math]APQR es igual al área del triángulo [math]EBR: trazamos [math]PR y [math]APQR queda dividido en dos triángulos. El triángulo [math]PQR tiene el mismo área que el triángulo [math]BPR pues tienen la misma base ([math]PQ=PB) y van al mismo punto. Lo mismo pasa con los triángulos [math]APR y [math]PRE, pues su base es la misma ([math]AR=RE) y van al mismo punto.
Ahora, [math]RE=\frac{2}{7}\cdot AC, por lo que [math]A(REB)=\frac{2}{7}\cdot A(ABC), pues van al mismo punto.
Además [math]A(ABC)=\frac{5}{4} \cdot A(ACD), pues tienen la misma base y la relación entre las alturas será la de sus áreas (si se trazan las alturas, los triangulitos con [math]BE y [math]ED como hipotenusas, son semejantes y ahí se tiene la relación). Pero además [math]A(ABCD)=A(ABC)+A(ACD)=A(ABC)+ \frac{4}{5} \cdot A(ABC)[math]=\frac{9}{5} \cdot A(ABC), por lo tanto [math]A(ABC)=\frac{5}{9} \cdot A(ABCD). Finalmente [math]A(REB)=\frac{2}{7}\cdot A(ABC)=\frac{2}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot A(ABCD) \Rightarrow \frac{A(REB)}{A(ABCD)}=\frac{10}{63}.
Sabiendo que $\frac{CE}{AC}$ = $\frac{3}{7}$ y $\frac{DE}{BD}$ = $\frac{4}{9}$ , podemos concluir que $\overline{AE}$ = 4 y $\overline{BE}$ = 5.
Sabiendo esto podemos saber el área de ABCD = $\frac{7 . 9}{2}$ = 31,5 $ \Rightarrow $ $\frac{x}{31,5}$.
Ahora nos queda calcular x que es el área de APQR y para esto primero calcularemos el área de RQE, sabiendo que $\overline{RE}$ = 2 y $\overline{EQ}$= $\frac{5}{3}$.
Por Pitagoras podemos calcular el segmento $\overline{RQ}$ ya que si vemos $R\widehat{E}Q$ = $90^{\circ}$, y para esto planteamos la siguiente ecuacion : $$x^2=3^2+1,\widehat{6}^2$$
Quedándonos: $$x=\sqrt{6,\widehat{7}}$$
Sí trazamos la mediatriz de $\overline{EP }$ y $\overline{AE}$ se forma un rectangulo con $\overline{RE}$ = 2 y $\overline{EQ}$ = $\frac{5}{3}$ .
Si vemos el triangulo AEP queda dividido en 4 triangulos de area $\frac{5}{3}$, sabiendo que 1 pertenece a el triangulo REQ, hacemos $\frac{5}{3}$ x 3 = 5 = x.
Transcribiendo : $\frac{5}{31,5}$
