Nacional 2003- P2 N1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
bruno
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Nacional 2003- P2 N1

Mensaje sin leer por bruno »

Las diagonales [math] y [math] de un cuadrilátero convexo [math] se cortan en [math] y [math] , [math] . Sean[math] y [math] los puntos que dividen el segmento [math] en tres partes iguales, con [math] entre [math] y [math], y sea [math] el punto medio del segmento [math]. Calcular [math].
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Nacional 2003- P2 N1

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

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Primero veamos que el área de [math] es igual al área del triángulo [math]: trazamos [math] y [math] queda dividido en dos triángulos. El triángulo [math] tiene el mismo área que el triángulo [math] pues tienen la misma base ([math]) y van al mismo punto. Lo mismo pasa con los triángulos [math] y [math], pues su base es la misma ([math]) y van al mismo punto.

Ahora, [math], por lo que [math], pues van al mismo punto.

Además [math], pues tienen la misma base y la relación entre las alturas será la de sus áreas (si se trazan las alturas, los triangulitos con [math] y [math] como hipotenusas, son semejantes y ahí se tiene la relación). Pero además [math] [math], por lo tanto [math]. Finalmente [math].
[math]
MathIQ
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Re: Nacional 2003- P2 N1

Mensaje sin leer por MathIQ »

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Sabiendo que $\frac{CE}{AC}$ = $\frac{3}{7}$ y $\frac{DE}{BD}$ = $\frac{4}{9}$ , podemos concluir que $\overline{AE}$ = 4 y $\overline{BE}$ = 5.
Sabiendo esto podemos saber el área de ABCD = $\frac{7 . 9}{2}$ = 31,5 $ \Rightarrow $ $\frac{x}{31,5}$.
Ahora nos queda calcular x que es el área de APQR y para esto primero calcularemos el área de RQE, sabiendo que $\overline{RE}$ = 2 y $\overline{EQ}$= $\frac{5}{3}$.
Por Pitagoras podemos calcular el segmento $\overline{RQ}$ ya que si vemos $R\widehat{E}Q$ = $90^{\circ}$, y para esto planteamos la siguiente ecuacion : $$x^2=3^2+1,\widehat{6}^2$$
Quedándonos: $$x=\sqrt{6,\widehat{7}}$$
Sí trazamos la mediatriz de $\overline{EP }$ y $\overline{AE}$ se forma un rectangulo con $\overline{RE}$ = 2 y $\overline{EQ}$ = $\frac{5}{3}$ .
Si vemos el triangulo AEP queda dividido en 4 triangulos de area $\frac{5}{3}$, sabiendo que 1 pertenece a el triangulo REQ, hacemos $\frac{5}{3}$ x 3 = 5 = x.
Transcribiendo : $\frac{5}{31,5}$
:D
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