Se tiene un tablero cuadrado de $8\times 8$ dividido en casillas de $1\times 1$. Escribir en cada casilla un $1$ o un $2$ de modo que en cada cuadrado de $3\times 3$ la suma de los $9$ números sea múltiplo de $4$, pero la suma de los $64$ números del tablero no sea múltiplo de $4$.
Sabiendo que la suma de los números de cada cuadrado de 3x3 tiene que ser divisible por 4, entonces la misma será 12 o 16 ya que si tenemos 9 números y supongamos que son todos 1 entonces la suma será 9 (la mínima), si son todos 2 la suma será 9x2=18 (máxima) y los múltiplos de cuatro que cumplen esto, es decir, 9<x<18 son el 12 y 16. Sabiendo esto se me ocurrió hacer que la suma de los cuadrados 3x3 sea 16 entonces fui probando hasta encontrar la forma, que es la siguiente:
Si sumamos nos queda:
1 2 2 1 2 2 1 2 = 13
1 2 2 1 2 2 1 2 = 13
2 2 2 2 2 2 2 2 = 16
1 2 2 1 2 2 1 2 = 13
1 2 2 1 2 2 1 2 = 13
2 2 2 2 2 2 2 2 = 16
1 2 2 1 2 2 1 2 = 13
1 2 2 1 2 2 1 2 = 13
Si sumamos estas nos queda: 13x6 + 16x2 = 110 que no es múltiplo de 4.
Con un razonamiento análogo a @MathIQ también me da que las sumas de cada tablero de $3x3$ son $12$ o $16$ y probando a base de la simetria obtengo el siguiente tablero:
$22222222$
$22222222$
$21121121$
$22222222$
$22222222$
$21121121$
$22222222$
$22222222$
Donde hay $2$ filas que suman $11$ y $6$ filas que suman $16$. Luego $S=2.11 + 6.16=118$ dado que $4$ no divide a $118$ queda resuelto el problema.