Nacional 2002 N1 P6

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Joacoini

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Nacional 2002 N1 P6

Mensaje sin leer por Joacoini »

En una caja fuerte hay $128$ bolsas con oro, todas con el mismo aspecto, pero todas de distinto peso. El tesorero quiere determinar las dos bolsas más pesadas y para ello dispone de una balanza de dos platos. La única operación permitida es colocar una bolsa en cada plato y de este modo establecer cuál de las dos es más pesada. Decidir si el tesorero puede lograr su objetivo efectuando $133$ operaciones permitidas. Si la respuesta es afirmativa, indicar la secuencia de pesadas; si es negativa, explicar el porqué.
NO HAY ANÁLISIS.
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Fran5

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Re: Nacional 2002 N1 P6

Mensaje sin leer por Fran5 »

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Es claro que toda bolsita debe pesarse al menos una vez, para saber si es más pesada o más liviana que las demás.
Luego usamos al menos $64$ operaciones.
Ahora, para buscar la más pesada, nos quedamos con las 64 más pesadas, e iteramos el proceso.
Necesitamos $32$ operaciones más.
Así hasta obtener una unica ganadora (Esto es tipo torneo, donde los ganadores juegan entre sí en la próxima ronda)

En total, usamos $64+32+ \ldots + 1 = 127$ operaciones, y la ganadora del torneo obviamente debe ser la más pesada

Pero nos faltó la segunda más pesada. ¿Cuál pudo haber sido?
Claramente la única bolsa más pesada que ella es la más pesada de todas.. con lo cual ésta segunda bolsa sólo puede ser la eliminada en alguna de la ronda.

En la ronda de $64$ operaciones, consideramos la que perdió con la más pesada.
En la ronda de $32$ operaciones, consideramos la que perdió con la más pesada.
...
En la ronda final (de una operación) consideramos la que perdió con la más pesada.

Luego hay $7$ bolsitas, de las cuales una es la que buscamos.

Y nuestro proceso puede ser el siguiente:
Tomamos la perdedora de la primer ronda, y la comparamos con la perdedora de la segunda ronda.
Tomamos la ganadora anterior, y la comparamos con la perdedora de la siguiente ronda.
...
Así hasta tener la ganadora anterior y compararla con la perdedora de la ronda final.

Si nos fijamos bien, en cada una de estas nuevas operaciones, tenemos que eliminar una bolsita. Como hay $7$ bolistas, tuvimos que eliminar $6$.

Finalmente, usamos $127 +6 = 133$ operaciones.
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MathIQ
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Re: Nacional 2002 N1 P6

Mensaje sin leer por MathIQ »

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Para resolverlo hice lo siguiente:
Sabiendo que son 128 bolsas y todas de diferentes pesos, las dividí en fases de pesadas.
Fase 1: Escogí 2 y las fui pesando consecutivamente quedándome un total de 64 pesadas(128÷2).
Fase 2: Escogí 2 de las ganadoras en la primera fase y las fui pesando consecutivamente quedándome un total de 32 pesadas(64÷2).
Fase 3: Escogí 2 de las ganadoras en la segunda fase y las fui pesando consecutivamente quedándome un total de 16 pesadas(32÷2).
Fase 4: Escogí 2 de las ganadoras en la tercera fase y las fui pesando quedándome un total de 8 pesadas(16÷2).
Fase 5: Escogí 2 de las ganadoras en la cuarta fase y las fui pesando quedándome un total de 4 pesadas(8÷2).
Fase 6: Escogí 2 de las ganadoras en la quinta fase y las fui pesando quedándome un total de 2 pesadas(4÷2).
Fase 7: Escogí 2 de las ganadoras en la sexta fase y las fui pesando quedándome un total de 1 pesada(2÷2).
Y la ganadora de la Fase 7 es la más pesada de las 128 bolsas.
Ahora nos queda encontrar la segunda más pesada de las 128 bolsas.
Para esto escogemos todas las perdedoras en las 7 fases con la bolsa más pesadas y las vamos pesando entre ellas.Denominamos A,B,C,D,E,F,G a las bolsas restantes y las pesamos así A_B ,C_D, E_F supongamos que las ganadoras son A,C y E , entonces hacemos A_C ,E_G, supongamos que ganaron A y E entonces hacemos A_E y de esta manera sacamos la segunda más pesada quedándonos en total 127+6=133 pesadas.
ACLARACIÓN A_B = pesada entre A y B.
:D
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