Nacional 2002 P4 N1

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ElFantasma

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Nacional 2002 P4 N1

Mensaje sin leer por ElFantasma »

Consideramos los números naturales [math] de tres cifras, todas ellas distintas de cero. Diremos que un número [math] es [math] si el número [math] es múltiplo del número de dos cifras que se obtiene al suprimirle a [math] la primera cifra de la izquierda (es decir, al suprimirle la cifra de las centenas).
Por ejemplo, [math] NO es bueno, porque [math] no es múltiplo de [math].

Hallar todos los números buenos.
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ElFantasma

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Re: Nacional 2002 P4 N1

Mensaje sin leer por ElFantasma »

Dejo una solución que se ocurrió.
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Sea [math], con [math], [math], y [math] cifras del número [math], todas mayores que [math] y menores o iguales que [math].
[math]
Para que [math] sea bueno debe darse que:
[math] [math] siendo [math] un número de dos cifras [math] y [math].
[math] [math]
[math] [math] ya que [math] [math]
Sea [math]
[math] [math]
[math] [math]
[math] [math]
Como [math] es primo, entonces los únicos divisores son [math] y [math], que son los posibles valores para [math] y [math]. Pero como [math] y [math], además de que [math] no puede ser múltiplo de [math].
Entonces para [math] no hay números buenos.
Sea [math]
[math] [math]
[math] [math]
[math]. Por lo que tendrá [math] divisores, de los cuales sólo uno es mayor a [math] y menor a [math] y no múltiplo de [math] [math]
[math] [math] de donde [math] y [math]. [math] es el menor número bueno.
Para [math] hay un número bueno.
Sea [math]
[math] [math]
[math]
[math] [math] de donde [math] y [math].
Para [math] hay un número bueno [math].
Sea [math]
[math] [math]
Nuevamente [math] es primo.
Así que para [math] no hay números buenos.
Sea [math]
[math] [math]
[math]. Tiene [math] divisores, pero ninguno es mayor a [math] y menor a [math].
Así que para [math] no hay números buenos.
Sea [math]
[math] [math]
Como [math] es primo, para [math] no hay números buenos.
Sea [math]
[math] [math]
Como [math] es primo, para [math] no hay números buenos.
Sea [math]
[math] [math]
[math] tendrá [math] divisores [math].
El único divisor que es mayor a [math] y menor a [math] y que no es múltiplo de [math] es [math]
[math] [math] de donde [math], [math] y que [math] es un número bueno.
Para [math] hay un número bueno.
Sea [math]
[math] [math]
[math] de donde sale que [math] tiene 4 divisores [math] de los cuales [math] y [math] don los que cumplen las condiciones.
[math] [math] de donde sale que [math], [math] y que [math] es un número bueno.
[math] [math] de donde sale que [math], [math] y que [math] es un número bueno.
Por lo tanto, para [math] habrá dos números buenos.
Ahora sumando, tenemos que hay [math] números buenos. [math]
bfz
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Re: Nacional 2002 P4 N1

Mensaje sin leer por bfz »

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Supongamos que [math] es un número bueno. Entonces [math] y como [math] , [math].
Los únicos números de la forma [math] que tienen divisores de dos cifras son [math], [math], [math], [math], es decir con [math], [math], [math] y [math], respectivamente. Ahora procedemos a buscar divisores de dos cifras de estos números.
Comencemos con [math]:
[math] Entonces [math] y [math].
Si [math]:
[math] con [math] y [math]
Si [math]:
[math] , [math] y [math]
Si [math]:
[math] pero también [math]. Entonces si [math] [math] [math]
pero si [math] [math] [math].
En total hay [math] números buenos.
MathIQ
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Re: Nacional 2002 P4 N1

Mensaje sin leer por MathIQ »

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En total son 5 números buenos y estos son: 917, 343, 953, 267 y 889.
Los encontré probando de la siguiente manera:
Denominamos n como ABC, sabemos que BC tiene que dividir a ABC+1, entonces empezé a probar así:
Sí elegimos el 11 entonces 11 tiene que dividir en partes enteras a algunos de estos números: 112,212,312,412,512,612,712,812,912(cosa que no sucede).Sabiendo que lo que varía es A ,y C queda cómo C+1. Probando y sabiendo que los números que puedo escoger son el 1,2,3,...,98,99 (descartando los terminados en 0), obtuve que los números buenos son iguales a:
•267 ya que 268 es divisible por 67.
•343 ya que 344 es divisible por 43.
•889 ya que 890 es divisible por 89.
•917 ya que 918 es divisible por 17.
•953 ya que 954 es divisible por 53.
:D
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