Consideramos los números naturales [math]n de tres cifras, todas ellas distintas de cero. Diremos que un número [math]n es [math]bueno si el número [math]n+1 es múltiplo del número de dos cifras que se obtiene al suprimirle a [math]n la primera cifra de la izquierda (es decir, al suprimirle la cifra de las centenas).
Por ejemplo, [math]123NO es bueno, porque [math]124 no es múltiplo de [math]23.
Sea [math]n=abc, con [math]a, [math]b, y [math]c cifras del número [math]n, todas mayores que [math]0 y menores o iguales que [math]9. [math]n=100a+10b+c
Para que [math]n sea bueno debe darse que: [math]n+1\equiv 0(mod[math]bc) siendo [math]bc un número de dos cifras [math]b y [math]c. [math]100a+10b+c+1\equiv 0(mod[math]10b+c) [math]100a+1\equiv 0(mod[math]10b+c) ya que [math]10b+c\equiv 0(mod[math]10b+c)
Sea [math]a=1 [math]100a+1\equiv 0(mod[math]10b+c) [math]100+1\equiv 0(mod[math]10b+c) [math]101\equiv 0(mod[math]10b+c)
Como [math]101 es primo, entonces los únicos divisores son [math]1 y [math]101, que son los posibles valores para [math]b y [math]c. Pero como [math]1\leq b \leq 9 y [math]1\leq c \leq 9 \Rightarrow 11\leq bc \leq 99, además de que [math]bc no puede ser múltiplo de [math]10.
Entonces para [math]a=1 no hay números buenos.
Sea [math]a=2 [math]100a+1\equiv 0(mod[math]10b+c) [math]201\equiv 0(mod[math]10b+c) [math]201=3*67. Por lo que tendrá [math]4 divisores, de los cuales sólo uno es mayor a [math]10 y menor a [math]100 y no múltiplo de [math]11[math](67) [math]201\equiv 0(mod[math]67) de donde [math]b=6 y [math]c=7. [math]267 es el menor número bueno.
Para [math]a=2 hay un número bueno.
Sea [math]a=3 [math]301\equiv 0(mod[math]10b+c) [math]301=7*43 [math]301\equiv 0(mod[math]43) de donde [math]b=4 y [math]c=3.
Para [math]a=3 hay un número bueno [math]343.
Sea [math]a=4 [math]401\equiv 0(mod[math]10b+c)
Nuevamente [math]401 es primo.
Así que para [math]a=4 no hay números buenos.
Sea [math]a=5 [math]501\equiv 0(mod[math]10b+c) [math]501=3*167. Tiene [math]4 divisores, pero ninguno es mayor a [math]10 y menor a [math]100.
Así que para [math]a=5 no hay números buenos.
Sea [math]a=6 [math]601\equiv 0(mod[math]10b+c)
Como [math]601 es primo, para [math]a=6 no hay números buenos.
Sea [math]a=7 [math]701\equiv 0(mod[math]10b+c)
Como [math]701 es primo, para [math]a=7 no hay números buenos.
Sea [math]a=8 [math]801\equiv 0(mod[math]10b+c) [math]801=3^2*89 \Rightarrow 801 tendrá [math]6 divisores [math](1, 3, 9, 89, 267, 801).
El único divisor que es mayor a [math]10 y menor a [math]100 y que no es múltiplo de [math]10 es [math]89 [math]801\equiv 0(mod[math]89) de donde [math]b=8, [math]c=9 y que [math]889 es un número bueno.
Para [math]a=8 hay un número bueno.
Sea [math]a=9 [math]901\equiv 0(mod[math]10b+c) [math]901=17*53 de donde sale que [math]901 tiene 4 divisores [math](1, 17, 53, 901) de los cuales [math]17 y [math]53 don los que cumplen las condiciones. [math]901\equiv 0(mod[math]17) de donde sale que [math]b=1, [math]c=7 y que [math]917 es un número bueno. [math]901\equiv 0(mod[math]53) de donde sale que [math]b=5, [math]c=3 y que [math]953 es un número bueno.
Por lo tanto, para [math]a=9 habrá dos números buenos.
Ahora sumando, tenemos que hay [math]5 números buenos. [math]267, 343, 889, 917, 953
Supongamos que [math]abc es un número bueno. Entonces [math]bc \mid abc+1 y como [math]bc \mid bc , [math]bc \mid 100a+1.
Los únicos números de la forma [math]100a+1 que tienen divisores de dos cifras son [math]201, [math]301, [math]801, [math]901, es decir con [math]a=2, [math]a=3, [math]a=8 y [math]a=9, respectivamente. Ahora procedemos a buscar divisores de dos cifras de estos números.
Comencemos con [math]a=2: [math]67 \mid 201 Entonces [math]bc=67 y [math]abc=267.
Si [math]a=3: [math]43 \mid 301 con [math]bc=43 y [math]abc=343
Si [math]a=8: [math]89 \mid 801 , [math]bc=89 y [math]abc=889
Si [math]a=9: [math]17 \mid 901 pero también [math]53 \mid 901. Entonces si [math]bc=17[math]\Rightarrow[math]abc=917
pero si [math]bc=53[math]\Rightarrow[math]abc=953.
En total hay [math]5 números buenos.
En total son 5 números buenos y estos son: 917, 343, 953, 267 y 889.
Los encontré probando de la siguiente manera:
Denominamos n como ABC, sabemos que BC tiene que dividir a ABC+1, entonces empezé a probar así:
Sí elegimos el 11 entonces 11 tiene que dividir en partes enteras a algunos de estos números: 112,212,312,412,512,612,712,812,912(cosa que no sucede).Sabiendo que lo que varía es A ,y C queda cómo C+1. Probando y sabiendo que los números que puedo escoger son el 1,2,3,...,98,99 (descartando los terminados en 0), obtuve que los números buenos son iguales a:
•267 ya que 268 es divisible por 67.
•343 ya que 344 es divisible por 43.
•889 ya que 890 es divisible por 89.
•917 ya que 918 es divisible por 17.
•953 ya que 954 es divisible por 53.
