Sea $ABC$ un triángulo tal que $A\hat BC=2B\hat CA$; además, si $D$ denota al punto del lado $BC$ tal que $AD$ es bisectriz del ángulo $C\hat AB$, se tiene que $CD=AB$. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$.
Sea $E$ en el lado $AC$ tal que $BE$ es bisectriz de $ABC$. Entonces $\angle EBC = \angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC = \angle BCA$.
Luego $\angle EBC= \angle BCA = \angle BCE$ y entonces $\stackrel{\triangle}{BEC}$ es isósceles con $CE=BE$.
Ahora por el criterio LAL los triángulos $\stackrel{\triangle}{DCE}$ y $\stackrel{\triangle}{ABE}$ resultan congruentes, ya que $CD=AB$, $\angle DCE = \angle ABE$ y $CE=BE$. Por lo tanto $\angle EDC=\angle EAB$.
Luego $\angle BDE=180^\circ -EDC = 180-\angle EAB$ y entonces $ABDE$ es un cuadrilátero cíclico.
Por lo tanto $\angle EAD=\angle EBD=\angle EBC = \angle BCA$. Como $\angle EAD = \frac{1}{2} \angle CAB$ tenemos $ \angle CAB= 2 \angle BCA$.
Sea $\angle ACB=\alpha$, luego $\angle CBA=2\alpha$ por enunciado. Por Suma de Ángulos Interiores (SAI) en el triángulo $ABC$, $\angle BAC=180°-3\alpha$. Como $AD$ es bisectriz del ángulo $\angle BAC$, $\angle BAD=\angle CAD=90°-\frac{3}{2}\alpha$.
Sea $E$ el punto donde la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ corta al lado $AC$, luego $\angle CBE=\angle ABE=\alpha$. Después el triángulo $BCE$ es isósceles, ya que $\angle EBC=\angle ECB=\alpha$, entonces $EB=EC$. Por SAI en $BCE$ tenemos que $\angle BEC=180°-2\alpha$, como el ángulo $\angle BEA$ es suplementario al ángulo $\angle BEC$, ya que ambos forman un ángulo llano, tenemos que $\angle BEA=2\alpha$.
Por enunciado $CD=AB$, por ser isósceles el triángulo $BCE$, $BE=CE$ y también sabemos que $\angle ABE=\angle ECD=\alpha$, por lo tanto los triángulos $ABE$ y $DCE$ son semejantes razón $1$, o congruentes, por el criterio LAL. Luego $EA=ED$, $\angle AEB=\angle DEC=2\alpha$.
Como $\angle AED$ es suplementario al ángulo $\angle DEC$, ya que forman un ángulo llano, tenemos que $\angle AED=180°-2\alpha$. Pero $EA=ED$, entonces el triángulo $ADE$ es isósceles, luego por SAI en el triángulo $ADE$ sabiendo que $\angle AED=180°-2\alpha$, tenemos que $\angle EAD=\angle EDA=\alpha$.
Por ultimo $90°-\frac{3}{2}\alpha =\angle CAD=\angle EAD=\alpha$, entoces:
$90°- \frac{3}{2}\alpha =\alpha$
$90°=\frac{5}{2}\alpha$
$180°=5\alpha$
$36°=\alpha$
Finalmente las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$ son $\angle ACB=36°$ y $\angle CBA=\angle BAC=72°$.
Según el enunciado: $A\hat{C}B$ = X, $A\hat{B}C$ = 2X, $B\hat{A}C$ = $180^{\circ}$-3X.
Usando semejanza entre triangulos y otras propiedades llegamos a que $\overline{AC}$ = $\overline{BC}$ y por lo tanto para que cumpla las propiedades $A\widehat{B}C$ = $C\widehat{A}B$ =$72^{\circ}$ $ \Rightarrow $ $A\widehat{C}B$ = $72^{\circ}$ /2 = $36^{\circ}$