Las soluciones posteadas en este foro tienen que usar conocimientos aptos para un participante de Ñandú. Cualquier solución que use conocimientos demasiado avanzados será borrada.
Las soluciones deberán estar explicadas lo más didácticamente posible (esto es más que nada una recomendación para los más grandes).
Al subir un problema hay que indicar certamen, año, nivel al que pertenece y número de problema.
En Subelandia los boletos de colectivo cuestan $\$3$; $\$3,25$ ó $\$3,50$ según el recorrido.
Para gastar exactamente $\$100$, ¿cuántos boletos de cada valor pueden comprarse? Da todas las posibilidades.
Como se pagan $100$ exactos, entonces los boletos de $ \$ 3,25$ vienen de a pares ya que no hay otra forma de pagar los $25$ centavos... así que podemos pensarlos como boletos de $ \$ 6,50$.
Del mismo modo, como los boletos ahora tienen $50$ centavos, tendríamos que tener una cantidad par de estos, que puede ser dos, cuatro, seis, ocho, ... así en adelante.
Ahora, veamos estos ejemplos: con dos boletos de $ \$ 3,50$ hacemos $ \$ 7$, y podemos completar con $31$ boletos de $ \$ 3,00$ para llegar a $100$. Pero también podríamos haber usado un boleto de $\$3,50$, uno de $\$ 6,50$ y $30$ boletos de $3$, o dos boletos de $\$3,50$ y $31$ de $3$. Esto muestra que podemos quitar dos boletos (uno de $\$3,50$ y uno de $\$3$) para agregar otros dos boletos (el de $\$6,50$ que es dos boletos de $\$3,25$).
El problema es que si usamos cuatro boletos de $ \$3,50$ tendríamos $ \$ 14$ de gastos y vemos que no es posible llegar a los $ \$ 86$ restantes con los boletos de $ \$ 3$. El mismo problema ocurre si usamos cuatro boletos de $ \$ 6,50$: no podemos llegar a los $\$ 74$ restantes sólo con boletos de $\$ 3$.
Esto nos muestra que la cantidad de boletos de $ \$3,50$ y de $\$ 6,50$ (es decir, de $\$ 3,25$) tiene que ser algún numero en particular: vimos que con dos sí se podía, con cuatro no, y se puede ver además que usando seis tampoco.
Para ver el desarrollo de todos los casos, leer aquí
Con ocho boletos de $\$ 3,50$ llegamos a $\$28$ y podemos completar con $24$ boletos de $ \$3$. Si usamos siete de $\$3,50$ y uno de $\$6,50$, necesitaríamos $23$ boletos de $ \$ 3$. Si usamos seis de $\$3,50$ y dos de $\$6,50$ necesitaríamos $22$ de $\$3$.. y así siguiendo, hasta usar los ocho de $\$6,50$ y $16$ boletos de $\$3$.
Con diez boletos de $\$3,50$ llegamos a $\$35$, y vemos que no se puede completar los $\$65$ restantes con boletos de $\$3$, así que tampoco se podría con los boletos de $\$6,50$.
Con doce boletos de $\$3,50$ llegamos a $\$42$, y vemos que no se puede completar los $\$58$ restantes con boletos de $\$3$, así que tampoco se podría con los boletos de $\$6,50$.
Con catorce boletos de $\$ 3,50$ llegamos a $\$49$ y podemos completar los $\$51$ restantes con $17$ boletos de $ \$3$. Si usamos trece de $\$3,50$ y uno de $\$6,50$, necesitaríamos $16$ boletos de $ \$ 3$... y así siguiendo, hasta usar los catorce de $\$6,50$ y $3$ boletos de $\$3$.
Con dieciséis boletos de $\$3,50$ llegamos a $\$56$, y vemos que no se puede completar los $\$44$ restantes con boletos de $\$3$, así que tampoco se podría con los boletos de $\$6,50$.
Con dieciocho de $\$3,50$ llegamos a $\$63$, y vemos que no se puede completar los $\$37$ restantes con boletos de $\$3$, así que tampoco se podría con los boletos de $\$6,50$.
Con veinte boletos de $\$ 3,50$ llegamos a $\$70$ y podemos completar los $\$30$ restantes con $10$ boletos de $ \$3$. Si usamos diecinueve de $\$3,50$ y uno de $\$6,50$, necesitaríamos $9$ boletos de $ \$ 3$... y así siguiendo, pero en este caso es hasta usar diez de $\$3,50$, otros diez de $\$6,50$ y ningún boleto de $\$3$ (ya nos quedamos sin).
Con $22$ boletos de $\$3,50$ llegamos a $\$77$, y vemos que no se puede completar los $\$23$ restantes con boletos de $\$3$, así que tampoco se podría con los boletos de $\$6,50$.
Con $24$ de $\$3,50$ llegamos a $\$84$, y vemos que no se puede completar los $\$16$ restantes con boletos de $\$3$, así que tampoco se podría con los boletos de $\$6,50$.
Con $26$ boletos de $\$ 3,50$ llegamos a $\$91$ y podemos completar los $\$3$ restantes con tres boletos de $ \$3$. Si usamos $25$ de $\$3,50$ y uno de $\$6,50$, necesitaríamos dos boletos de $ \$ 3$... y así siguiendo, pero en este caso es hasta usar $23$ de $\$3,50$, otros tres de $\$6,50$ y ningún boleto de $\$3$ (ya nos quedamos sin).
Recapitulando, y recordando que los boletos de $\$6,50$ son en realidad dos de $\$3,50$, tenemos las siguientes posibilidades:
Contemos según la cantidad de billetes que se usaron. Claramente la máxima cantidad es $33$ billetes, pues con $34$ billetes habríamos pagado como mínimo $34 \times \$ 3 = \$ 102$ y nos pasamos de $\$100$ . Del mismo modo, la mínima cantidad es $29$, pues con $28$ habríamos pagado como mínimo $28 \times \$ 3,50 = \$ 98$ y no llegamos a $\$100$.
Ahora notemos: podemos cambiar billetes de $\$3$ y de $\$3,50$ por dos de $\$3,25$ sin que cambie el total de billetes ni el total pagado.
Si usamos $33$ billetes, no llegamos sólo con los de $\$3$, pues nos faltaría un peso... así que habría que usar de $\$ 3,50$ y de $\$3,25$. Una posibilidad es usar dos de $\$3,50$. Otra es usar dos de $\$3,25$ y uno de $\$3,50$ , o si no cuatro de $\$3,25$.
Acá hay tres posibilidades (ver imagen anterior)
Si usamos $32$ billetes, en vez de cubrir $\$1$ con los otros billetes, tendríamos que cubrir un poco más. Una posibilidad es usar $24$ de $\$3$ y $8$ billetes de $\$3,50$. Vemos otras posibilidades cambiando billetes hasta llegar a $16$ de $\$3$ y $16$ de $\$3,50$.
Acá hay $9$ posibilidades (ver imagen anterior)
Si usamos $31$ billetes, una posibilidad es usar $17$ de $\$3$ y $14$ billetes de $\$3,50$. Vemos otras posibilidades cambiando billetes hasta llegar a tres de $\$3$ y $28$ de $\$3,50$.
Acá hay $15$ posibilidades (ver imagen anterior)
Si usamos $30$ billetes, una posibilidad es usar $10$ de $\$3$ y $20$ billetes de $\$3,50$. Vemos otras posibilidades cambiando billetes hasta llegar a $10$ de $\$3,50$ y $20$ de $\$3,50$.
Acá hay $11$ posibilidades (ver imagen anterior)
Si usamos $29$ billetes, una posibilidad es usar $3$ de $\$3$ y $26$ billetes de $\$3,50$. Vemos otras posibilidades cambiando billetes hasta llegar a $23$ de $\$3,50$ y seis de $\$3,50$.
Acá hay $4$ posibilidades (ver imagen anterior)
En total son $42$ posibilidades
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