a) En una isla viven $61$ camaleones de los cuales $16$ son anaranjados, $20$ son marrones y $25$ son verdes. Cada vez que se encuentran exactamente dos camaleones de distinto color, ambos cambian su color hacia el tercer color. (Si los que se encuentran son más de dos o si son dos del mismo color, no ocurre nada.)
Determinar si en algún momento es posible que todos los camaleones sean del mismo color.
b) Un camaleón anaranjado abandona la isla y quedan $60$ camaleones de los cuales $15$ son anaranjados, $20$ marrones y $25$ verdes. Determinar si es posible que en algún momento las cantidades de camaleones de los tres colores sean iguales.
En ambos casos, si la respuesta es sí, dar una secuencia de encuentros necesarios; si la respuesta es no, explicar por qué.
Notese que en cualquier encuentro la diferencia entre la cantidad de camaleones de un color y la de cualquier otro color no cambia o cambia en 3.
Para lograr que todos los camaleones sean de un color necesitamos que en algún momento haya la misma cantidad de camaleones de dos colores. Si solo podemos cambiar la diferencia de a 0 o de a 3 por encuentro entonces necesitamos que la diferencia en la cantidad de camaleones de dos tipos sea multiplo de 3. En el caso a) las diferencias son 4, 5 y 9. Como hay una diferencia que es multiplo de 3 estamos bien.
Una secuencia posible de encuentros es 3 encuentros entre camaleones marrones y verdes lo cual nos deja en 22 camaleones Anaranjados, 17 camaleones Marrones y 22 camaleones Verdes. Luego seguimos con una seguidilla de 22 encuentros entre Anaranjados y Verdes hasta que todos los camaleones son marrones
En el caso b) las diferencias son 5, 5 y 10. Como ninguna es multiplo de 3 entonces no se puede lograr el objetivo.
Primero veamos cómo se comportan los restos de la cantidad de colores en módulo $3$, y también de los "encuentros" de cada color (siendo $A, M, V$ anaranjado, marrón y verde respectivamente; y los que tienen la linea arriba los colores que se cruzan):
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\overline{A} & M &\overline{V} & & \overline{A} & \overline{M} & V & & A & \overline{M} & \overline{V} \\ \hline
1 & 2 &1 & & 1&2&1&&1&2&1\\ \hline
0&1&0&&0&1&0&&0&1&0\\ \hline
2&0&2&&2&0&2&&2&0&2\\ \hline
1&2&1&&1&2&1&&1&2&1\\ \hline
\end{array}
Podemos ver que hay ciclos (desde $1|2|1$ hasta $2|0|2$), y en todos los posibles encuentros son iguales.
Notemos que la situación que queremos, en módulo $3$ es, en algún orden, tener un $1$ y dos $0$ (el $1$ porque $61\equiv 1 \pmod3$, y el $0$ porque $0\equiv 0 \pmod3$). La situación del ciclo que cumple esto es la que está en el índice $2$, por lo tanto sí es posible llegar a la situación de que haya un solo color, el marrón. Una secuencia sería ir cambiando camaleones al color anaranjado hasta que hayan $22$ anaranjados y $22$ verdes, y a partir de ahí disminuirlos en $1$ para que lleguen a $0$, y por tanto los marrones llegan a $61$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
\overline{A} & M &\overline{V} & & \overline{A} & \overline{M} & V & & A & \overline{M} & \overline{V} \\ \hline
0 & 2 &1 & & 0&2&1&&0&2&1\\ \hline
2&1&0&&2&1&0&&2&1&0\\ \hline
1&0&2&&1&0&2&&1&0&2\\ \hline
0&2&1&&0&2&1&&0&2&1\\ \hline
\end{array}
Al igual que antes, pero con uno anaranjado menos, los ciclos se repiten en todos los encuentros. Ahora nos preguntan si puede haber igual cantidad de camaleones por cada color, por lo tanto si hay $61-1=60$ camaleones, cada color debería tener $\frac{60}{3}=20\equiv 2\pmod3$, entonces tendría que suceder el caso $2|2|2$, pero vemos que ese caso no aparece en el ciclo, por lo tanto no se puede llegar a que todos los colores tengan igual cantidad de camaleones.
Parte $a$: Si se puede, ejemplo: $[N, M, V] = [16, 20, 25] \Rightarrow [18, 19, 24] \Rightarrow [17, 21, 23] \Rightarrow [19, 20, 22] \Rightarrow [21, 19, 21]$. Como tenemos dos iguales, simplemente repetimos el proceso con esos dos hasta llegar a 0.
Parte $b$: No se puede, para darnos cuenta de esto debemos analizar $mod 3$. Veamos que para ganar debemos tener, en algún orden, $60, 0, 0$ camaleones, y $60 \equiv 0 (mod 3)$, por lo que los $3$ números tienen el mismo resto en la división por 3. Ahora veamos que desde la situación en la que partimos es imposible llegar a tener $3$ números con el mismo resto $mod 3$.
En total tenemos 3 combinaciones que se pueden hacer entre los anaranjados, verdes y marrones. Generalicemos cada una:
Naranjas $= 3n$
Marrones $= 3m + 2$
Verdes $= 3v + 1$
Notemos que en todas llegamos a $[2, 1, 0]$ por lo que podemos repetir el proceso con estos restos.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
3n & 3m+2 &3v+1 & & 3n & 3m+2 & 3v + 1 & & 3n & 3m+2 & 3v+1 \\ \hline
2 & 1 &0 & & 2&1&0&&2&1&0\\ \hline
1&0&2&&1&0&2&&1&0&2\\ \hline
0&2&1&&0&2&1&&0&2&1\\ \hline
\end{array}
Notemos que en todas llegamos a $[1, 0, 2]$ por lo que podemos repetir el proceso con estos restos.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
3n & 3m+2 &3v+1 & & 3n & 3m+2 & 3v + 1 & & 3n & 3m+2 & 3v+1 \\ \hline
1&0&2&&1&0&2&&1&0&2\\ \hline
0&2&1&&0&2&1&&0&2&1\\ \hline
\end{array}
Lo que nos deja con el caso inicial, por lo tanto estamos en una recursión de la cual no se puede salir, y por lo tanto nunca vamos a obtener $3$ números tal que todos tengan resto $0 mod 3$.
oráculo y magia negra
