Diremos que un entero $n\geq 90$ es bueno si su anteúltimo dígito es $9$. Por ejemplo, $10798$, $1999$ y $90$ son tres enteros buenos, mientras que $9900$, $2009$ y $9$ no son buenos. Ignacio expresa a $2022$ como la suma de $k$ enteros buenos. Determinar el menor valor de $k$ para el que Ignacio puede lograr esta expresión y dar una descomposición para el valor hallado.
Sean $b_1, b_2, \cdots, b_k$ números buenos tales que $b_1 + b_2 + \cdots + b_k = 2022$. Sea $u(h)$ el dígito de las unidades de $h$ luego $10 + b_i \equiv u(b_i) \; (100)$, ahora:
$$10k + 2022 = 10k + \sum_{i=1}^{k} b_i \equiv \sum_{i=1}^{k} u(b_i) \; (100)$$
Donde se da que $10k + 22 - \sum_{i=1}^{k} u(b_i)$ es un múltiplo de $100$ y a la vez:
$$k + 22 = 10k + 22 - 9k \leq 10k + 22 - \sum_{i=1}^{k} u(b_i) \leq 10k + 22$$
Es decir, entre $k+22$ y $10k + 22$ aparece un múltiplo de $100$. Es claro que el menor $k$ que verifica esto es $k = 8$ donde:
$$90 + 90 + 90 + 90 + 90 + 90 + 90 + 1392 = 2022$$
Teniendo el ejemplo que queremos.
Sea $d(x)$ el dígito de las decenas de $x$. Es claro que $d(b)=9$ para cada numero bueno.
Si $c$ es un numero cualquiera, entonces $d(b+c)$ tiene cuatro posibilidades (modulo 10)
Si no hay acarreo en las unidades ni en las decenas, entonces $d(c)=0$ y $d(b+c) = d(b)=9=d(c)-1$
Si no hay acarreo en las decenas pero si en las unidades, entonces $d(c)=0$ y $d(b+c) = d(b)+1=0=d(c)$
Si hay acarreo en las decenas pero no en las unidades, entonces $d(b+c)=d(c)-1$
So hay acarreo en las decenas y en las unidades, entonces $d(b+c) = d(c)-1+1 = d(c)$.
En todos los casos tenemos que $d(c)$ se mueve para abajo o se queda igual (viendo modulo $10$)
Inicialmente tenemos un numero con decenas igual a $0$, y queremos llegar a $2$, por lo que tenemos como mínimo $8$ números buenos.
El ejemplo es $$90+ \ldots + 90 + 1392$$ con $7$ números $90$ y un $1392$.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
$n \geq 90$, si yo tuviera $k$ cantidad de $n$, no necesariamente iguales, entonces equivaldria a escribir $k$ cantidad de $90$s y distribuir el numero formado por los $2$ ultimos digitos de $2022-90k=z$ en las cifras de unidades de cada $90$ de forma que sean buenos.
Si pudiera lograr mi objetivo utilizando solamente $k=3$ digitos, entonces tendria:
$90,90,90$
donde $2022-90.3=1752$. Es decir, deberia distribuir $52$ en las cifras de las unidades para que los tres numeros sean buenos. No me importan las cifras de $100$ en adelante, ya que no cambia si es bueno o no. Sin embargo, inevitablemente tenemos que $52> 27$, por lo que con $k=3$ no es posible.
Entonces, haciendo cuentas, llegamos a que $k=8$ es el menor $k$ tal que $z$ tiene sus ultimos dos digitos $\leq 9k$
En particular, $2022-90.8=1302$, donde solo debo distribuir $2$.
